高等数学-极值与最值

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1、第九章第八节一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值定义则称函数在该点取得例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为使函数取得极值的点称为的某邻域内有(极小值).若函数极大值极值,极值点.提示:例1(D)根据条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.则()的某个邻域内连续,且A(2003考研)已知函数由题设说明:定理1(必要条件)函数偏导数,证据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得

2、极值但驻点不一定是极值点.且在该点取得极值,则有存在故例如,有驻点(0,0),但在该点不取极值.使偏导数都为0的点称为驻点.时,定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当证明见第九节(P121).时,时,若函数且具有极值没有极值.不能确定,需另行讨论.例2求函数解第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)

3、处为极大值.在点(1,2)处不是极值;例3讨论函数及是否取得极值.解在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为显然(0,0)都是它们的驻点,二、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,为极小值为最小值(大)(大)依据当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,例4解则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样

4、的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.设水箱长,宽分别为x,ym,则高为例5有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.为问怎样折法才能使断面面设折起来的边长为xcm,令解得:由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还

5、有其他条件限制例如,转化方法2拉格朗日乘数法.分析：则问题等价于一元函数可确定隐函数的极故极值点必满足记例如,值问题,故有如方法1所述,引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,下的极值.在条件求函数注意：要分清目标函数、约束条件和拉格朗日函数例6要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、

6、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问设x,y,z分别表示长、宽、高,得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:长、宽、高尺寸相等.最省,利用对称性可知,内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对

7、二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题在条件求驻点.•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点C,使△ABC面积S△最大.解答提示:设C点坐标为(x,y),思考与练习则设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点C与E重合时,三角形面积最大.点击图中任意点动画开始或暂停注补充题1.求半径为R的圆的内接三角形中面积最大

8、者.解它们所对应的三个三角形面积分别为设拉氏函数解方程组,得故圆内接正三角形面积最大,最大面积为注则设内接三角形各边所对的圆心角为x,y,z,注因此前者不可能为圆内接三角形中面积最大者.若∆ABC位于半圆内(如图),则其BC边上的高小于∆A1BC同边上的高,故前者的面积小于后者，2.设某电视机厂生产一台电视机的成本为c,每台电电视机的销售价格为p,销售量为x