高等数学(同济第六版)课件 第三章 3.泰勒公式.ppt

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1、第三节泰勒(Taylor)公式若函数f(x)在x0点有n阶导数,称称函数pn(x)称为f(x)在x0处的n阶泰勒多项式。问题：若函数f(x)有n+1阶导数,则函数f(x)与多项式函数pn(x)有什么关系？开区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数,则如果函数f(x)在含有的泰勒(Taylor)中值定理(在与x之间)其中(1)式称为f(x)按x-x0的幂展开的n阶泰勒公式(在与x之间)开区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数,则如果函数f(x)在含有的泰勒(Taylor)中值定理(在与x之间)其中拉格朗日型余项公式(1)称为f(x)按x―x0的幂展开的n阶泰勒公式。函数f(

2、x)按x―x0的幂展开的n阶泰勒公式：(在x0与x之间)注：1.当n=0时,(在x0与x之间)拉格朗日中值公式.佩亚诺型余项函数f(x)按x―x0的幂展开的n阶泰勒公式：(在x0与x之间)例1写出按x―1的幂展开的2阶泰勒公式当x0=0时,(1)式为：麦克劳林公式例2求的n阶麦克劳林公式解…k=1,2,…,n……估计误差(设x>0)取x=1,…误差…思考:下列函数间的大小关系(1)当x>0时,(2)当x≠0时,还可以得到什么不等式？例3求f(x)=sinx的n阶麦克劳林公式解………小结学习本节必须掌握以下内容：1.函数f(x)在x0处的n阶泰勒多项式？2.函数f(x)按

3、x-x0的幂展开的n阶泰勒公式？余项？余项有哪几种形式？3.函数f(x)的n阶麦克劳林公式？4.函数sinx、ex的n阶麦克劳林公式？微分形式上的不变性：无论u是自变量还是中间变量均成立：若u=g(x),则凑微分将下列表达式凑微分