数值分析ppt第1章_绪论课件.ppt

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1、数值分析武汉工程大学理学院信息与计算科学教研室第一章绪论引例【1.1】求函数在处的函数值。【1.2】求函数在[1,2]上的零点。1.1计算方法的研究对象和特点总结（1）应用广泛边缘学科计算机模拟实验科学与工程计算（2）主要工作误差估计（讨论方法的好坏）寻求适合计算机计算的方法抽象性；严密的科学性；应用的广泛性；使用的高技术性（3）特点由数学模型提出求解的数值计算方法并编程计算出结果，然后进行误差分析。（4）方法特点构造性递推性离散化近似替代计算离散点上的近似值方法的构造，解的存在唯一性的证明复杂计算过程转化成简单的计算过程的多次重复

2、在误差允许的范围内，无限次的计算用有限次计算替代1、绝对误差绝对误差(简称误差),——设某量的准确值为x，是x的近似值，绝对误差限.例1通常x是未知的，故未知，但一般地已知。绝对误差不是误差的绝对值，即可正可负。1.2误差2、相对误差——设某量的准确值为x，是x的近似值，称绝对误差与准确值之比为的相对误差。称δ为的相对误差限。例2解但是的一个好的近似，不是的好的近似.3、有效数字定义若的误差满足其中为0,1,…,9中的一个数字。误差不超过m-n位的半个单位一般来说，则称该位到的第一位非零数字即有n位有效数字，或说准确到m-n位。为

3、的有效数字，设x为准确值，为x的近似值且可表示为有效数字与相对误差之间的关系定理1有效数字的位数估计相对误差限有效数字的位数越多，相对误差限就越小定理2相对误差限估计有效数字的位数相对误差限越小，有效数字的位数就越多化简?推论的相对误差满足若*x的近似数是设x，）（*¹×±=aaaxmn)0(10.011L初始数据引起计算函数值的误差(1)函数值A*的绝对误差略去高阶项：4、误差的传播问题：(2)函数值A*的相对误差(4.2)计算问题的条件数初始数据的微小误差可引起结果A的很大误差引起A的很大误差病态问题、坏条件问题利用偏导数法或由

4、（4.1）,下同在乘、除、开方运算时，问题数据的相对误差对计算结果的相对误差影响不大。(3)初始数据误差与计算结果误差之间的关系(4)上述关系的表述在乘、除、开方运算时，问题数据的相对误差对计算结果的相对误差影响不大。当x与y同号且x–y≠0时，由公式(f)至少有一个绝对值大于1•尽量避免两相近数的减法运算。•不宜用绝对值很小的数做除数.x≈y时,至少有一个的绝对值很大y很小时,很大1、选用数值稳定的算法对于某个数值计算方法，如果输入数据的误差在计算过程中迅速增长而得不到控制，则称该算法是数值不稳定的，否则是数值稳定，举例说明如下：

5、例1计算积分值解由于要计算系列的积分值，我们先推导的一个递推公式。由1.3数值计算的若干原则可得下面两个递推算法。算法1：算法2：直接计算可得如果我们用四位数字计算，得的近似值为。记，为的近似值。对算法1，有按以上初始值的取法有，事实上。这样，我们得到。这个数已经大大超过了的大小，所以连一位有效数字也没有了，误差掩盖了真值。对算法2，有如果我们能够给出的一个近似值，则可由算法2计算的近似值。并且，即使较大，得到的近似值的误差将较小。由于可取的一个近似值为对有。按和，分别按算法1和2计算，计算结果如表1-1，其中为算法1的计算值，为算

6、法2的计算值。易知，对于任何自然数，都有，并且单调递减。可见，算法1是不稳定的，算法2是稳定的。（四位）表1-1当然，数值不稳定的方法一般在实际计算中不能采用。数值不稳定的现象属于误差现象。下面讨论误差危害现象的其他表现及如何避免问题。2、避免有效数字的损失在数值计算中，参加运算的数有时数量级相差很大，而计算机位数有限，如不注意，“小数”的作用可能消失，即出现“大数”吃“小数”的现象，同时避免小数做除数。例2用三位十进制数字计算其中如果我们自左至右逐个相加，则所有的都会被舍掉，得。但若把所有的先加起来，再与101相加，就有可见，计算

7、的次序会产生很大的影响。这是因为用计算机计算时，在运算中要“对阶”，对阶引起了大数吃小数的现象。大数吃小数在有些情况下是允许的，但有些情况下则造成谬误。在数值计算中，两个相近数相减会使有效数字严重损失。3、减少运算次数在数值计算中，要注意简化运算次数，这也是数值分析所要演技的重要内容。同样一个计算问题，如果能减少运算次数，不但可以节省计算机的计算时间，还能减少误差的积累。下面举例说明简化计算公式的重要性。例3给定x，计算多项式的值。如果我们先求，需要进行k次乘法，在相加，则需要次乘法和n次加法才能得到一个多项式的值。如果我们将多项式

8、写成下面的形式则只需n次乘法和n次加法即可得到一个多项式的值，这就是著名的秦九韶算法，可描述为最后有例4利用级数计算，若要精确到，要计算10万项求和。这一方面计算量很大，另一方面舍入误差的积累也十分严重。如果该用级数来计算，取，则只要