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1、在京东商城或其它购买： 数值计算方法 作者杨一都计算方法授课32学时；实验16学时，分8次，每次2学时第一章绪论§1计算方法的任务与特点§2数值问题与数值算法§3误差§4算法的稳定性§5如何学习计算方法§1计算方法的任务与特点1.1什么叫计算方法（1）举例计算人体身高、气温描述、两分法求根f(x)=0。（2）定义：计算方法是对科学技术中的实际问题进行数值求解的方法。1.2计算方法与计算机的关系（1）计算方法的产生。（2）计算方法与计算机的关系。§1计算方法的任务与特点1.3计算方法研究的问题（1）计算方法的分类数值代数、数值逼近与微分方程数值解法。（2）计算方法研究的
2、问题计算问题：建筑设计、力学结构计算。数值模拟：人口系统、生态系统、弹道轨迹。最优化问题：人口控制、系统最优化设计。§2数值问题与数值算法（1）数值问题举例曲线拟合。（2）数值算法举例S=1+2+3+……+100。ex=1+x+x2/2!+……+xn/n!.ax2+bx+c=0，求根。§3误差1.1误差的来源用数值计算方法解决科学技术中的实际问题,必须首先建立数学模型。而数学模型又只能在感性认识的基础上,抓住主要因素,忽略次要因素的情况下获得,故只能近似地描述所给的实际问题,其与实际问题之间有一定的差异,从而出现误差。这种误差称之为“模型误差”。在数学模型中,常常包含了若
3、干参变量,如比重、加速度、阻力系数等,这些量一般是通过观测得来的,而观测的结果不可能绝对准确,因而就产生了误差。这种误差通常称为“测量误差”。例设某金属棒在温度t时的长度为lt(0℃时金属棒的长度为l0),则lt≈Lt=l0(1+αt+βt2)这里l0≡1,α、β为参数,可估计为α=0.001253±10-6β=0.000068±10-6于是知,lt-Lt为模型误差,10-6是观测α、β而产生的误差,因此为“测量误差”。在计算过程中,我们常用收敛无穷级数的前几项代替无穷级数,即抛弃了无穷级数的后段。这样得到的误差称为“截断误差”。1.2绝对误差和绝对误差限定义假设某一量的准
4、确值为x,近似值为x*,则x与x*之差的绝对误差(简称误差),记为ε(x),即ε(x)=x-x*(1―1)｜ε(x)｜的大小标志着x*的精确度。一般地,在同一量的不同近似值中,｜ε(x)｜越小,x*的精确度越高。由于准确值x一般不能得到,于是误差ε(x)的准确值也无法求得,但在实际测量或计算时,可根据具体情况事先估计出它的大小范围。也就是指定一个适当小的正数ξ,使得
5、ε(x)
6、=｜x-x*｜≤ξ(1―2)我们称ξ为近似值x的绝对误差限。有时也用x=x*±ξ(1―3)表示近似值的精度或准确值的所在范围。在实际问题中,绝对误差一般是有量纲的。例如测得某一物件的长度为5m,其误差
7、限为0.01m,通常将准确长度s记为s=5±0.01即准确值在5m左右,但不超过0.01m的误差限。1.3相对误差和相对误差限绝对误差并不足以表示近似值的好坏。例如设x1=100±1x2=1000±1近似值x*1=100的绝对误差限与x*2=1000的绝对误差限相同,不过100的误差为1与1000的误差为1比较,后者应比前者精确。定义我们把绝对误差与准确值之比称为x*的相对误差。由于准确值x往往是不知道的,因此在实际问题中,常取(1―4)由式(1―4)可知,相对误差可以由绝对误差求出;反之,绝对误差也可由相对误差求出。其关系是ε(x)=xεr(x)(1―5)在讨论对近似值进
8、行运算结果的误差分析时,相对误差更能反映出误差的特征。因此在误差分析中相对误差比绝对误差显得更为重要。在实际计算中,由于ε(x)与x都不能准确地求得,因此相对误差εr(x)也不可能准确地得到,于是也像绝对误差那样,只能估计它的大小范围。即指定一个适当小的正数η,使称η为近似值x*的相对误差限。(1―6)例1给定g(x)=107(1-cosx),试用四位数学用表求g(2°)的近似值。甲用下列步骤解题:由于cos2°≈0.9994,故g(2°)=107(1-cos2°)≈107(1-0.9994)=6000乙用另法计算:由于g(x)=107(1-cosx)≡2×107sin2查
9、表sin1°≈0.0175,故g(2°)=2×107sin21°≈2×107(0.0175)2≈6125甲、乙都用一本数学手册,表的每一个数都准确到小数后第四位,答案为什么不一致?谁的答案较正确呢?下面我们来分析甲、乙算题时各自的相对误差:记t1=(1-A)107,其中A=cosx,t2=2×107B2,其中B=sin(x/2),三角函数表给出了四位数字,它准确到小数后第三位,而第四位是经过“四舍五入”得到的,即有1.4有效数字对于一个近似值,我们还希望知道它的准确程度,为此,再引进有效数字的概念。定义将近似数x写
