导数和微分课件.ppt

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1、第一节导数概念第四章一元函数微分学1．导数的定义⑴函数f(x)在点x0处可导的定义设函数y=f(x)在点x0的邻域内有定义，当自变量x点x0处取得改变量Δx(≠0)时，函数y取得相应的改变量若当时，两个改变量之比的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称此极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数。即若上式中极限不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导。导数的其它形式在①式中，如果把Δx换成x(或h)，则导数定义式可写为在①式中，如果令Δx=x-x0，则x=Δx+x0，且x→x0时Δ

2、x→0，于是有或练习：P127题2（1）例2设函数在点处可导,求.（此例为P97例4.7）例1设函数在处导数存在且求（此例为P97例4.6）2求导数举例例1步骤:(1)求增量(2)算比值(3)求极限练习：P127题1（1）题2（2）例2求函数在点的导数.（此例为P95例4.4）例3求函数的导数.（此例为P96例4.5）（此例为P95例4.3）(2)左导数和右导数的定义分别称为f(x)在点x0处的左导数与右导数。（3）函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件练习：P128题2（5）2．可导与连续的

3、关系解即课本例4.8如图如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即设割线MN的斜率为切线MT的斜率为3．导数的几何意义切线方程为法线方程为x=x0(即切线垂直于ox轴)注：法线为过切点且垂直于切线的直线例1求曲线在x＝9处的切线方程故曲线过（9，3）点的切线方程为解：因为又当x=9时，所以切线的斜率例2在曲线y=x2上求一点M(x0，y0),使该点处的切线平行于直线y=4x-5已知直线的斜率为k2=4，故应有于是所求的点为M(2,4)则练习：P127

4、题1（3）解：因两直线平行的条件是“斜率相等”而过M点的切线斜率为注：两直线平行表示两直线的斜率相等，但又不重合以下课件为补充练习，作为课后练习用分析：这是两个分段函数，它们在分段点x=0处是否可导，首先，要根据函数在该点处可导、连续、有极限之间的关系进行判定。若函数在该点无极限或不连续，显然不可导。若连续，则需要用可导的充分必要条件，即“在该点的左、右导数都存在并且相等”来判定。解例在x=0处不可导例解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为即法线方程为即方程和法线方程.并写出在该点处的切

5、线斜率,处的切线的在点求等边双曲线)2,21(1xy=例求曲线的通过点（0，－4）的切线方程解设切点为，则切线的斜率为于是所求切线方程可设为可导切点在曲线上，故有（8）切线（7）通过点（0，－4），故有（9）求得方程（8）和（9）组成的方程组的解为即得所求切线方程为3x-y-4=0回顾：求导数步骤:(1)求增量(2)算比值(3)求极限第二节基本初等函数的导数与运算法则解1即一基本初等函数的求导解更一般地例如,即2解指数函数的导数.即3对数函数的导数解作代换可得4解即5正弦函数的导数同理例定理2定

6、理1二和、差、积、商的求导法则推论例1解定理3推论注意:例2解定理4证注意:例3解同理可得例4解同理可得例5分段函数求导时,分界点导数用左右导数求.解P112例4.20证法则三反函数的导数（不作要求）于是有即是反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例1解特别地链式法则（ChainRules)：证明四复合函数的求导法则注1：链式求导法则，即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.注2例4解例5解注：熟练以后，可以不写出中间变量，此例可以这样写：例6练习：解1常数和基本

7、初等函数的导数公式五小结2函数的和、差、积、商的求导法则设)(),(xvvxuu==可导，则（1）vuvu¢¢=¢)(,（2）uccu¢=¢)(（3）vuvuuv¢+¢=¢)(,（4）)0()(2¹¢-¢=¢vvvuvuvu.(是常数)解：分析：这是两个函数乘积的求导问题，可直接利用乘积的求导法则计算，但考虑到函数的特点，若先把函数化简变形为代数和的形式再求导，将更为简便。3复合函数的求导法则利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.复合函数导数的计算应遵循以下法则：运用以上复合函数求导法则

8、求导时，首先要搞清函数的复合过程，即它是由哪些简单函数复合而成的，找出所有中间变量。在求导过程中，依照法则依次对中间变量直至对自变量求导，最后把求导结果相乘并加以整理即得所求结果。由复合函数求导法则，有解：这是一个经过三次复合的复合函数，其复合过程为于是有由以上例子可以看出，在复合函数求导过程中，如果每次都把中间变量依次列出比较麻烦，当运算较熟练时，只需把哪些是“中间变量”默记在心里，然后按照复合层次，由外向里逐层对“中间变量”求导数，直至对自变量求导为止，并随时把求导结果相乘。如例4，不写中间