极限概念与无穷思想课件.ppt

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1、第一节极限概念本讲学习要求：了解极限方法是微积分的研究方法，理解极限概念的涵义，掌握极限存在的判定定理。理解无穷大和无穷小的概念，理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。一、数列极限1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”3、观察数列问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?通过上面演示实验的观察:例1例2例3问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?通

2、过上面演示实验的观察:对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的凭观察能判定数列的极限是多少吗显然不能问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.这就是“当n无限增大时，xn无限地接近于1”的实质和精确的数学描述。如果数列没有极限,就说数列是发散的.注①定义1习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个动态指标ε和N刻画了极限的实质，用

3、xn－a

4、＜ε定量地刻画了xn与a之间的距离任意小，即任给ε＞0标志着“要多小”的要求，用n＞N表示n充分大。这个定义有三个要素：10，正数ε，20，正数N，30，不等式

5、xn－a

6、＜ε（n＞N）②定义中的ε具有二

7、重性：一是ε的任意性，二是ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn逼近a时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过ε的相对固定性来实现）。③定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的，且由

8、xn－a

9、＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn以a为极限时，关键在于设法由给定的ε，求出一个相应的N，使当n＞N时，不等式

10、xn－a

11、＜ε成立。④定义中

12、的不等式

13、xn－a

14、＜ε（n＞N）是指下面一串不等式都成立，而对则不要求它们一定成立数列极限的几何意义使得N项以后的所有项都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.二、函数极限由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数,所以,可望将数列的极限理论推广到函数中,并用极限理论研究函数的变化情形.的图形可以看出

15、:如何描述它？又包含了x.既包含了x+,x的含义：定义定理解无限缩小,可以小于任意小的正数.因而应该有例1练习xx0时函数的极限,是描述当x无限接近x0时,函数f(x)的变化趋势.f(x)在点x0=0处有定义.函数f(x)在点x0=1处没有定义.例2概念和公式的引出两点说明:函数的左、右极限（单侧极限）右极限记法：函数的左、右极限左极限记法：(1)左、右极限均存在,且相等；(2)左、右极限均存在,但不相等；(3)左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！函数在点x0处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：y=f(x)xOy11在x=1处

16、的左、右极限.解例3定理解例4解例5定理1如果当xx0时f(x)的极限存,那么这极限是唯一的三函数极限的性质1.唯一性2.局部有界性(有极限的函数必有界)若极限存在，则函数在的某一空心邻域上有界。定理23.局部保号性定理3第二次数学微机关于微积分基础的问题越来越严重。以求速度为例，瞬时速度是Δs/Δt当Δt趋向于零时的值。Δt是零、是很小的量，还是什么东西，这个无穷小量究竟是不是零。这引起了极大的争论，从而引发了第二次数学危机。波尔查诺不仅承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。柯西在1821年从定义变量开始，抓住了极限的概念，

17、指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的ε-δ的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。第二节无穷小量、无穷大量一无穷小量简言之,在某极限过程中,以0为极限的量称该极限过程中的一个无穷小量.例1注意：1.要指明自变量的变化过程；2.在这个过程中，函数f(x)以0为极限.应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变量，而不是绝对值很小的数.0是可以作为无穷小量的唯一的一个数.定理函数有极限，可以通过无穷小来

18、表述.定义设函数f(x)在的某去心邻域内有定义.如果对于任意给定的正数M，二、无穷大无穷大是与无穷小相对的概