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1、第五章矩阵的特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量§5.2相似矩阵与矩阵可对角化条件§5.3实对称矩阵的对角化一、特征值与特征向量定义三、矩阵的迹二、特征值与特征向量求法§5.1矩阵的特征值与特征向量定义5.1若存在常数及非零向量一、特征值与特征向量定义说明称二、特征值与特征向量的计算方法定理5.1设Ａ是n阶矩阵，则 是Ａ的特征值， 是Ａ的属于 的特征向量证明求矩阵特征值与特征向量的步骤：中南财经政法大学信息学院信息系7/22/20208例1求矩阵的特征值与特征向量.解得特征值当时,解方程由得基础解系全部特征向量为当时,解方程由得基础解系全部特征向量为二重根例
2、2求矩阵的特征值与特征向量.解得特征值当时,解方程组得基础解系全部特征向量为当时,解方程得基础解系全部特征向量为注意在例1与例2中,特征根的重数与其对应的线性无关特征向量的个数.二重根例3如果矩阵则称是幂等矩阵.试证幂等矩阵的特征值只能是0或1.证明设两边左乘矩阵,得由此可得因为所以有得例４证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则证明再继续施行上述步骤次，就得矩阵的特征值与其特征多项式的关系特点则有：性质：课堂练习（答：2，-2，0.）一、相似矩阵概念二、相似矩阵基本性质三、矩阵可对角化的条件§5.2相似矩阵与矩阵可对角化条件设都是阶方阵,若有可逆矩阵使则称
3、与是相似的,或说一、相似矩阵概念相似是一种等价关系中南财经政法大学信息学院信息系7/22/202026(1)相似矩阵有相同的行列式.(2)相似矩阵有相同的迹.(3)相似矩阵有相同的秩.(4)相似矩阵有相同的特征多项式.(5)相似矩阵有相同的特征值.二、相似矩阵基本性质(6)相似矩阵的逆矩阵仍相似(设两者都可逆).(7)相似矩阵的幂仍相似.证明设矩阵A与B相似,即有P-1AP=B(1)(2)显然.(3)(4)由(3)即得.(5)由(4)及特征值与迹的关系可得.(6)(7)由相似的定义可得.例1已知与相似,求x,y.解因为相似矩阵有相同的特征值,故A与B有相同的特征值2,
4、y,-1.根据特征方程根与系数的关系,有：而故x=0,y=1.课堂练习所谓方阵可以对角化,是指即存在可逆矩阵使成立.定理5.2阶方阵可对角化有个线性无关的特征向量.三、矩阵可对角化的条件证明设即是的对应于特征值的特征向量.又因可逆,故线性无关.得到设线性无关.记则因线性无关,故可逆,即可对角化.定理5.3证明则即类推之，有中南财经政法大学信息学院信息系7/22/202037把上列各式合写成矩阵形式，得定理5.4对一重特征值来说,相应地只有一个线性无关的特征向量对k重特征值来说,相应地线性无关的特征向量不会超过k个(证明略)定理5.5推论属于不同特征值的特征向量是线性无
5、关的定理5.6(充分条件)若A的n个特征值互不相等,则A与对角阵相似(可对角化).如教材§5.1例3，P169注意：逆不成立,即与对角阵相似的矩阵,特征值不一定互不相等.例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解之得基础解系求得基础解系解之得基础解系故不能化为对角矩阵.中南财经政法大学信息学院信息系7/22/202045A能否对角化？若能对角化,试求出可逆矩阵P例2解解之得基础解系所以可对角化.注意即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．例：对教材§5.1例2、例3的矩阵A，求可逆阵P，使P-1AP为对角阵.例3有三个不同的特征值对应的特征向量分别为已知求(1)
6、(2)解又所以(2)若令则有故课堂练习一、实对称矩阵的特征值与特征向量§5.3实对称矩阵的对角化二、实对称矩阵的对角化定理5.7实对称矩阵的特征值为实数.证明一、实对称矩阵的特征值与特征向量中南财经政法大学信息学院信息系7/22/202055于是有两式相减，得定理５.７的意义证明于是定理5.8实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的证明它们的重数依次为根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定理3(如上)可得：设的互不相等的特征值为即：任一实对称矩阵一定可以对角化.与之相似的对角阵的对角元素就是的全部特征值,而正交阵是由它们对应的单位特征向量组成的.为阶实对称矩阵,
7、则必存在正交矩阵使其中是以的个特征值为对角元的对角阵.定理5.９二、实对称矩阵的对角化由上面结论(3)得：根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法将特征向量正交化，单位化，;3.写出正交矩阵.4.2.1.中南财经政法大学信息学院信息系7/22/202061例1求一个正交阵解(1)求特征值:特征值为(2)求特征向量:对于解得线性无关的特征向量为对于解得线性无关的特征向量为(3)特征向量正交化、单位化：用施密特正交化方法正交化取单位化取(4)写出所求正交矩阵:令则P是正交阵.并且要特别注意本题
