线性代数课件-2.6矩阵的初等变换.ppt

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1、上堂课主要内容：主要概念：其中是A的行列式中元素的代数余子式2、伴随矩阵：对n阶方阵A，有1、逆矩阵：对于n阶方阵A，若存在矩阵B,使得则称A为可逆矩阵，简称A可逆。并称B为A的逆矩阵。,即记为伴随矩阵逆矩阵的运算公式：3、若A可逆，则可逆，且2、若A可逆，则1、若A可逆，则4、若A可逆，数则可逆，且5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且1、n阶方阵A与其伴随矩阵的关系2、n阶方阵A可逆的充要条件是且当A可逆时3、若A、B为同阶方阵，且AB=E,则A、B均可逆，且主要性质：§2·6矩阵的初等变换一、初等变换定义2·1

2、6对矩阵施行的以下三种变换（1）互换矩阵的某两行（列）（2）用一非零数乘与矩阵的某一行（列）（3）将矩阵的某一行（列）各元素的k倍加到另一行（列）对应元素上。均称为矩阵的初等变换。初等行变换初等列变换定理2·3任意一个矩阵，总可以经过有限次初等变换，化为形如m×nr行r列的矩阵，D称为矩阵A的最简形二、初等矩阵定义2·17对单位矩阵E施行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵的类型：（1）互换E的第i、j两行(列）所得到的矩阵i行j行i列j列第一种初等矩阵（2）用非零数k乘与E的第i行（列）所得到的矩阵i行×k（3

3、）将E的第j行的k倍加到第i行(或第i列的k倍加到第j列)所得到的矩阵j行×ki行i列×ki列×k第二种初等矩阵第三种初等矩阵三种初等矩阵：性质：初等矩阵都是可逆矩阵，且它们的逆仍为初等矩阵。即有：证明（3）=E故可逆，且其逆初等变换将一个矩阵变为另一个矩阵定理2·21、对m×n矩阵A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m×m初等矩阵;证明：下证对三种行变换结论成立设2、对m×n矩阵A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n×n初等矩阵;（1）互换A的第i行与第j行m×1=Bi行j行（2）用一非零数k乘与A

4、的第i行×k=B(3)将A的第j行各元素的k倍加到第i行对应元素上。×k=B即若A第一种行变换则若A第一种例变换则若A第二种行变换则若A第二种例变换则若A第三种行变换则若A第三种例变换则定理2·3任意一个矩阵，总可以经过有限次初等变换，化为最简形，即…s次行变换t次列变换利用定理2.2讨论矩阵A与其最简形D的关系：由于初等矩阵都是可逆矩阵，所以即E在A的左边乘上S个相应的初等矩阵P1、P2、、、Ps，设A共经过s次行变换、t次列变换后化成D在A的右边乘上t个相应的初等矩阵Q1、Q2、、、Qt矩阵A与其最简形D的关系：or

5、推论1n阶方阵A可逆的充要条件是A的最简形为单位矩阵E.证明：由以上两式可知A可逆D可逆定理2·4n阶方阵A可逆的充要条件是A能表示成一系列初等矩阵的乘积。即A可经过初等变换化E推论2若n阶方阵A可逆，则可以经过一系列初等行变换将A化为单位矩阵E.证明：由定理2·2知，A可以经过一系列初等行变换化为E.设A可逆，其逆为，由定理2·4知存在初等矩阵使于是定理2·4n阶方阵A可逆的充要条件是A能表示成一系列初等矩阵的乘积。即三、用初等变换求逆矩阵构造分块矩阵求逆矩阵的方法：使则若A可逆，其逆为，则存在初等矩阵对作初等行变换，

6、当左边子块A化为E时，右边子块E就化为构造分块矩阵，【例3】求矩阵的逆矩阵。解：所以行变换注意：在对分块矩阵作初等行变换时，必须始终用行变换，期间不能用任何列变换说明：（1）在不知A是否可逆时，可直接对作初等行变换，若在运算过程中，A对应的子块出现一行或一列的元素全为零，则A不可逆。例如：讨论矩阵是否可逆，若可逆，求其逆。解：所以A不可逆行变换（2）若A可逆，利用初等列变换也可求得，只不过此时是对分块矩阵作初等列变换，列变换因为，由，做2×1例如求矩阵的逆矩阵。列变换故（3）可利用初等行变换求矩阵方程AX=B的解即对矩阵

7、方程AX=B,若A可逆，则，于是构造分块矩阵则求的方法：对作初等行变换，当左边子块A化为E时右边子块即为若A可逆，构造分块矩阵因为若A可逆，则可逆【例4】设矩阵，求X，使AX+B=X解：由AX+B=XB=X-AX=(E-A)X且所以E-A可逆，由此得行变换思考题：已知XA=B，且A可逆，则如何求？1、初等变换定义2·16对矩阵施行的以下三种变换（1）互换矩阵的某两行（列）（2）用一非零数乘与矩阵的某一行（列）（3）将矩阵的某一行（列）各元素的k倍加到另一行（列）对应元素上。均称为矩阵的初等变换。初等行变换初等列变换本节主

8、要内容：概念：2、初等矩阵定义2·17对单位矩阵E施行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵性质、定理：性质：初等矩阵都是可逆矩阵，且它们的逆仍为初等矩阵。即有：定理2·21、对m×n矩阵A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m×m初等矩阵;2、对m×n矩阵A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n×n初