线性代数24矩阵的初等变换与矩阵的秩ppt课件.ppt

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1、2.4矩阵的初等变换与矩阵的秩1.矩阵的初等变换2.矩阵的秩定义2.16下列三种变换称为矩阵的初等行变换此时变换的是第i行,第j行没有变化!同理可定义矩阵的初等列变换(把“r”换成“c”)．2.4.1矩阵的初等变换矩阵的初等变换通常称(1)换法变换(2)倍法变换(3)消法变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.2.4.2初等矩阵由单位矩阵I经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.定义2.17(1)交换I的两行或两列，得初等对换矩阵。(2)以数乘I某行或某列，得初等倍乘矩阵。(3)

2、以数乘某行（列）加到另一行（列）上，得初等倍加矩阵。初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。定理2.3证明：具体验证即可另两种情形同理可证一般记法：2、行阶梯形矩阵、行最简矩阵、标准形定义2满足下列两个条件的形如阶梯的矩阵：（1）若有零行，则该行下方所有行元素均为零；(2)如果某一行元素不全为零，并且第一个不为零的元素位于第i列，则它下方的所有行（若存在）的前i个元素全为零。定义行最简矩阵是指在阶梯形中(1)非零行第一个非零元素为1，(2)每一行第一个非零元素1所在的列中其它元素都为零，即：定理2.4对任何矩阵Amn，总可以经过有限次初等行变换，把它化为行阶梯形矩阵，行最简矩阵。定

3、理2.5任何一个矩阵A都与一个形式为的矩阵等价。（r≤min(m,n),D称为矩阵A的标准形。2.4.3初等变换求逆矩阵为了得到利用初等变换求矩阵的逆的方法，我们首先需要建立如下的定理。定理2.6n阶矩阵A可逆的充要条件是A的标准形是In.由，就有上面第一式表示经有限个初等行变换化为单位矩阵，第二式表示经这些初等行变换变为.用分块矩阵形式把上两式写成或由定理2.6知道若A可逆，则A-1可表为有限个初等矩阵的乘积，即即初等行变换这表明如果对矩阵(A,B)施行初等行变换，当把A化为In时，B就化为A-1B．例10求矩阵X，使AX=B，其中解如果A可逆，那么X=A-1B．，所以例2.18

4、求解矩阵方程AX=A+X,其中解把所给方程变形为(A-I)X=A2.4.2矩阵的秩k阶子式：在mn矩阵A中任取k行与k列(kmkn)位于这些行列交叉处的k2个元素不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式称为矩阵A的k阶子式例如D是A的一个二阶子式(取1、2行，2、4列）定义2.19矩阵A中不为零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩，记作r(A).规定：零矩阵的秩是0，从而A=0当且仅当r(A)=0.(3）矩阵A的秩为r当且仅当A中存在非零的r阶子式，而所有的r+1阶子式（若存在）均为零。由定义不难得到：（1）若A是m×n矩阵，则A的秩不会大于矩阵的行与列数。即（

5、2）例2.17解例2.18解A中有一个3阶子式而所有4阶子式均为零，所以r(A)=3.问题：经过变换矩阵的秩变吗？矩阵秩的计算因为对任何矩阵都可以经过有限次初等行变换变成行阶梯形矩阵，其非零行的行数就是矩阵的秩。定理2.8初等变换不改变矩阵的秩，即若A经过初等变换化成B,则r(A)=r(B).推论2.5设A是m×n矩阵，P,Q分别是m阶与n阶可能矩阵，则r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)=r(A)推论2.6设A是m×n矩阵，r(A)=r,则A的标准形为求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例2.20问t为何值时,矩阵A有最小

6、秩，并求这个秩.其中解由于所以r(A)≤2,要使的秩最小，必有t=-3，所以，当t=-3时，r(A)=1.