线性代数第六讲_矩阵的逆课件.ppt

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1、一逆矩阵的定义四矩阵可逆的充要条件及逆矩阵的性质三矩阵方程的求法第六讲逆矩阵★二逆矩阵的求法则矩阵B称为A的可逆矩阵或逆阵.一逆矩阵的定义在数的运算中，当数时，有其中为的倒数，（或称的逆）；在矩阵的运算中，单位阵相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵，如果存在一个矩阵B使得定义对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵.,使得例设数a的倒数性质说明若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的.例2练习：若n阶矩阵满足A是否可逆？若可逆，求A的逆。解：A可逆初等行变换(AI)(IA-1)特别提示:不能

2、进行列变换二用初等变换求逆矩阵解例2练习：1求下列矩阵的逆2312134A=解2310012010134001(AI)=231000-3-4-210011-101231000-3-4-210011-101231000-3-4-210011-10110130-200-1-513011-101100-21100-1-513010-614100-2110015-1-3010-614A-1=-211-6145-1-3例1解方程AX=B其中-12-353-44A=-1-235-4B=解AX=BA-1=-201-2-15-1

3、-1所以-201-2-15-1-1-1-235-4=-2-92-4三矩阵方程的求法A-1=，31-3-2-15/211-3/2132242331例2设A=，B=，C=5231132310求矩阵X使AXBC-532-1B-1=，解XA-1CB-1=31-3-2-15/211-3/2132310-532-1-2-101014-4=注意矩阵次序例3解（法一）例3解（法二）(AB)=123252213134343123250-2-5-1-90-2-6-2-12123250-2-5-1-900-1-1-3100320-

4、204600-1-1-310032010-2-300113例4解矩阵方程X-XA=B其中0110-32-3A=-21-341B=解X-XA=BXE-XA=BX(E-A)=BE-A=00-1-2003-24所以-21-341=11-9-3/2-2(E-A)-1=0-1/20-2-3/4-1/2-1000-1/20-2-3/4-1/2-100矩阵方程解练习1解矩阵方程AX=B其中1-12101-11A=-13432B=练习2解矩阵方程AXB=C其中01000001A=-101B=-110120C=(2)若A可逆，数l

5、0，则(lA)1l1·A1(1)若A可逆，(A1)1A四逆矩阵的性质证明AA1=I所以:(lA)1l1A1(3)若A可逆，则(AT)1(A1)T所以(AT)1(A1)T证明AT(A-1)T=(A-1A)T=IT=I，(4)若A、B为同阶可逆矩阵，则(AB)1B1A1证明(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AIA-1=AA-1=I所以:(AB)1B1A1推论:注意逆矩阵顺序，和转置相似(A1A2A3…An)1(An)1(An-1)1….(A1

6、)1(ABC)1C1B1A1(ABCD)1D-1C1B1A1例1设n阶矩阵A满足Ak=O，证明(I-A)-1=I+A+A2+...+Ak-1证明所以I-A可逆,且因为(1)成立若A、B、C是同阶矩阵，且A可逆，下列结论是否成立(1)若AB=AC，则B=C(2)若AB=O，则B=O练习1：提示：(2)成立AB=OA-1AB=A-1O=OB=O因为AB=ACA-1AB=A-1ACB=CA可逆时消去律成立设练习2：求满足等式AB+I=A2+B的二阶矩阵B解由AB+I=A2+B显然可逆练习：

7、3求矩阵的逆-2-1605-6-11A=-6-11001解(AI)=-2-1610040501002-17-301-2-161000-217210000-111-2-161000-217210可知:A-1不存在矩阵可逆的充要条件A矩阵可逆A矩阵可经有限次初等行变换化为单位矩阵（矩阵是满秩）