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1、得到高精度方法的一个直接想法是利用Taylor展开假设式y'=f(x,y)(a≤x≤b)中的f(x,y)充分光滑,将y(xi+1)在xi点作Taylor展开，若取右端不同的有限项作为y(xi+1)的近似值，就可得到计算y(xi+1)的各种不同截断误差的数值公式。例如：取前两项可得到9.4龙格－库塔方法2021/9/151其中P阶泰勒方法若取前三项，可得到截断误差为O(h3)的公式类似地，若取前P+1项作为y(xi+1)的近似值，便得到2021/9/152显然p=1时,yi+1=yi+hf(xi,yi)它即为我们熟悉的Euler方法。当p≥2时,要利用泰勒方法就需要计算f(x,y)的高阶微商。
2、这个计算量是很大的，尤其当f(x,y)较复杂时，其高阶导数会很复杂。因此，利用泰勒公式构造高阶公式是不实用的。但是泰勒级数展开法的基本思想是许多数值方法的基础。R-K方法不是直接使用Taylor级数,而是利用它的思想2021/9/1539.4.1龙格-库塔(R-K)法的基本思想Euler公式可改写成则yi+1的表达式与y(xi+1)的Taylor展开式的前两项完全相同,即局部截断误差为O(h2)。Runge-Kutta方法是一种高精度的单步法,简称R-K法2021/9/154同理，改进Euler公式可改写成上述两组公式在形式上共同点:都是用f(x,y)在某些点上值的线性组合得出y(xi+1)
3、的近似值yi+1,且增加计算的次数f(x,y)的次数,可提高截断误差的阶。如欧拉法:每步计算一次f(x,y)的值,为一阶方法。改进欧拉法需计算两次f(x,y)的值，为二阶方法。局部截断误差为O(h3)2021/9/155于是可考虑用函数f(x,y)在若干点上的函数值的线性组合来构造近似公式，构造时要求近似公式在(xi,yi)处的Taylor展开式与解y(x)在xi处的Taylor展开式的前面几项重合，从而使近似公式达到所需要的阶数。既避免求高阶导数,又提高了计算方法精度的阶数。或者说,在[xi,xi+1]这一步内多计算几个点的斜率值，然后将其进行加权平均作为平均斜率，则可构造出更高精度的计算
4、格式，这就是龙格—库塔（Runge-Kutta）法的基本思想。2021/9/156一般龙格－库塔方法的形式为2021/9/157其中ai,bij,ci为待定参数，要求上式yi+1在点(xi,yi)处作Tailor展开，通过相同项的系数确定参数。称为P阶龙格－库塔方法。Runge-Kutta方法的推导思想对于常微分方程的初值问题的解y=y(x)，在区间[xi,xi+1]上使用微分中值定理，有即2021/9/158引入记号就可得到相应的Runge-Kutta方法2021/9/159如下图即则上式化为即Euler方法Euler方法也称为一阶Runge-Kutta方法2021/9/15109.4.2
5、二阶龙格—库塔法在[xi,xi+1]上取两点xi和xi+a2=xi+a2h,以该两点处的斜率值K1和K2的加权平均(或称为线性组合)来求取平均斜率k*的近似值K，即式中:K1为xi点处的切线斜率值K1=hf(xi,yi)=hy'(xi)K2为xi+a2h点处的切线斜率值,比照改进的欧拉法,将xi+a2视为xi+1，即可得确定系数c1、c2、a2、b21，可得到有2阶精度的算法格式2021/9/1511因此将y(xi+1)在x=xi处进行Taylor展开：将在x=xi处进行Taylor展开：2021/9/15122021/9/1513K1=hf(xi,yi)这里有4个未知数，3个方程。存在无穷
6、多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。令对应项的系数相等，得到2021/9/1514注意到，就是二阶龙格-库塔公式，也就是改进的欧拉法。因此，凡满足条件式有一簇形如上式的计算格式，这些格式统称为二阶龙格—库塔格式。因此改进的欧拉格式是众多的二阶龙格—库塔法中的一种特殊格式。2021/9/1515若取，就是另一种形式的二阶龙格-库塔公式。此计算公式称为变形的二阶龙格—库塔法。式中为区间的中点。也称中点公式。Q:为获得更高的精度，应该如何进一步推广？2021/9/1516二级R-K方法是显式单步式,每前进一步需要计算两个函数值。由上面的讨论可知,适当选择四个参数c1,c2,a2,b
7、21，可使每步计算两次函数值的二阶R-K方法达到二阶精度。能否在计算函数值次数不变的情况下,通过选择不同的参数值,使得二阶R-K方法的精度再提高呢?答案是否定的！无论四个参数怎样选择,都不能使公式的局部截断误差提高到三阶。这说明每一步计算两个函数值的二阶R-K方法最高阶为二阶。若要获得更高阶得数值方法,就必须增加计算函数值的次数。2021/9/15179.4.3三阶龙格—库塔法2021/9/1518为进一步提
