龙格-库塔方法.doc

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1、.8.2 龙格-库塔方法  8.2.1二阶龙格-库塔方法  常微分方程初值问题:             做在点的泰勒展开:         这里。取,就有 (8.11)  截断可得到近似值的计算公式,即欧拉公式:    若取,式(8.11)可写成:  范文.      或      (8.12)    截断可得到近似值的计算公式:    或   上式为二阶方法,一般优于一阶的欧拉公式(8.2),但是在计算时,需要计算在点的值,因此,此法不可取。  龙格-库塔设想用在点和值的线性组合逼近式(8.12)的主体,即用    (8.13)  逼近   范文.  得

2、到数值公式: (8.14)  或更一般地写成    对式(8.13)在点泰勒展开得到:            将上式与式(8.12)比较,知当满足时有最好的逼近效果,此时式(8.13)-式(8.14)。这是4个未知数的3个方程,显然方程组有无数组解。范文.  若取,则有二阶龙格-库塔公式,也称为改进欧拉公式:                      (8.15)  若取,则得另一种形式的二阶龙格-库塔公式,也称中点公式:                     (8.16)  从公式建立过程中可看到,二阶龙格-库塔公式的局部截断误差仍为,是二阶精度的计算公

3、式。类似地,可建立高阶的龙格-库塔公式,同时可知四阶龙格-库塔公式的局部截断误差为,是四阶精度的计算公式。  欧拉法是低精度的方法,适合于方程的解或其导数有间断的情况以及精度要求不高的情况,当解需要高精度时,必须用高阶的龙格-库塔等方法。  四阶龙格-库塔方法应用面较广,具有自动起步和便于改变步长的优点,但计算量比一般方法略大。为了保证方法的收敛性,有时需要步长取得较小,因此,不适于解病态方程。  8.2.2四阶龙格-库塔公式  下面列出常用的三阶、四阶龙格-库塔计算公式。  三阶龙格-库塔公式范文.  (1)               (8.17)  (

4、2)                  (8.18)  (3)                 (8.19)  四阶龙格-库塔公式  (1)            (8.20)范文.  (2)           (8.21)  例8.3用四阶龙格-库塔公式(8.20)解初值问题:            解:取步长,计算公式为:    计算结果列表8.3中。表8.3计算结果12340.20.40.60.81.247891.637622.296183.533891.247921.637782.296963.538020.000030.000160.000780

5、.00413  8.2.3步长的自适应范文.  欧拉方法和龙格-库塔方法在计算时仅用到前一步的值,我们称这样的方法为单步法。在单步法计算中根据需要可以取等步长或变步长。对于变化平缓的区段,步长可以取大一些;而对于变化剧烈的区段,则步长可以取小一些。  以计算为为例,已知的数值,取为初始步长,是给定的控制精度,用欧拉或龙格-库塔方法的计算公式。  记为由和取步长算出的,记为由和取步长算出的,即,均是的近似值,当

6、,逐步放大步长,,直到时为止,最后取为步长的值。而当,逐步缩小步长,,直到时为止,取为步长的值。  下面给出自适应算法的描述:  给定控制精度和初始步

7、长。  对于    IF THEN  WHILE          ENDWHILE    ELSE范文.  WHILE          ENDWHILE    ENDIF欢迎您的光临,wdrd文档下载后可以修改编辑。双击可以删除页眉页脚。谢谢!单纯的课本内容,并不能满足学生的需要,通过补充,达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手,不教用手的人用脑,所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟,结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。范文

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