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1、二、最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法第五节函数的极值与最大值最小值第三章一、函数的极值及其求法定义:在其中当时,(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点.注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如(P146例4)为极大点,是极大值是极小值为极小点,定理1(极值第一判别法)且在去心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,例1.求函数的极值
2、.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为定理2(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.例2.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.二、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值最小值特别:当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,
3、则也是最大值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)例3.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:显然且故函数在取最小值0;在及取最大值5.因此也可通过例3.求函数说明:求最值点.与最值点相同,由于令在闭区间上的最大值和最小值.(k为某一常数)例4.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?20解:设则令得又所以为唯一的极小点,故AD=15km
4、时运费最省.总运费物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问Km,公路,用开始移动,例5.设有质量为5kg的物体置于水平面上,受力作解:克服摩擦的水平分力正压力即令则问题转化为求的最大值问题.为多少时才可使力设摩擦系数问力与水平面夹角的大小最小?令解得而因而F取最小值.解:即令则问题转化为求的最大值问题.清楚(视角最大)?观察者的眼睛1.8m,例6.一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于解:设观察者与墙的距离为xm,则令得驻点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站
5、在距离墙2.4m处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.思考与练习2.连续函数的最值1.设则在点a处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示:利用极限的保号性.2.设在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示
6、:利用极限的保号性.3.设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示:A试问为何值时,在时取得极值,还是极小.解:由题意应有又取得极大值为Ex:1.求出该极值,并指出它是极大
