垂直关系的性质（北师大版）课件.ppt

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1、6.2垂直关系的性质知识探究（一）直线与平面垂直的性质定理问题:一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什么位置关系？1、直观感知αaba⊥αb⊥α}a∥b一般地，如果直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，那么a∥b吗？从理论上如何证明这个结论？αbab’o已知：a⊥α,b⊥α求证：a∥b证明：假设a和b不平行，设b与α交于点0,b’是经过点0与α平行的直线∵a∥b’且a⊥α∴b’⊥α∵过一点作一平面的垂线有且只有一条∴b与b’重合∴a∥b知识探究（一）直线与平面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行a

2、⊥αb⊥α}a∥bαba由这个定理可知：要证明两直线平行，可以寻找一个平面，使这两条直线同垂直于这个平面即可2、抽象概括直线和平面垂直的性质定理知识探究（一）直线与平面垂直的性质定理理论迁移例1、如图，已知于点A，于点B，求证：.ABCαβla例2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD、BC1、DC1分别为三条面对角线，AC为一条体对角线.求证(1)A1C⊥BD(2)A1C⊥平面DBC1ABCDA1B1C1D1EF理论迁移Ⅰ.观察实验知识探究（二）平面与平面垂直的性质定理观察长方体一般地，平面α⊥平面β，α∩β＝MN，

3、AB在β内,AB⊥MN于点B，这时，直线AB和平面α垂直吗？从理论上如何证明这个结论？αβMNABC证明：在平面α内作BC⊥MN，则∠ABC是二面角α-MN-β的平面角∵平面α⊥平面β∴∠ABC＝90°即AB⊥BC又AB⊥MN且MN与BC是两相交直线∴AB⊥α知识探究（二）平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.Ⅱ.抽象概括知识探究（二）平面与平面垂直的性质定理平面和平面垂直的性质定理简述为：面面垂直线面垂直b符号表示≠作用：证明线面垂直判断正误：已知平面α⊥平面β

4、,α∩β＝l下列命题(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β（）(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面β（）(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β（）√××ABCDB1C1D1NMA1例3、如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，且MN⊥BC于点M。判断MN与AB的位置关系，并说明理由.解：显然，平面BCC1B1⊥平面ABCD，交线为BC，∴MN⊥平面ABCD∴MN⊥AB≠≠理论迁移如图，在长方体ABCD-A’B’C’D’中，（1）判断平面ACC’A’与平面ABCD的位置关系

5、（2）MN在平面ACC’A’内，MN⊥AC于M，判断MN与AB的位置关系。ABCDA’B’C’D’MN练习课堂小结1．直线与平面垂直的性质定理a⊥αb⊥α}a∥bαba2、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。b≠（2）若，求证：MN面PCD如图，已知矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点求证：（1）PABCDMNE当堂练习1正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF与异面直线AC、A1D都垂直且相交，分别交AC、A1D于E、F求证：EF∥BD1ABCDA1B1C1D

6、1EF证明：连接A1C1、C1D、B1D1、AD1∵AC∥A1C1且EF⊥AC∴EF⊥A1C1又EF⊥A1D∴EF⊥平面A1C1D∵AB⊥A1D且AD1⊥A1D∴A1D⊥平面ABD1∴BD1⊥A1D同理可证BD1⊥A1C1∴BD1⊥平面A1C1D∴EF∥BD1当堂练习2例2：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC，BOPAC(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。(1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。(1)证明：∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点∴∠AC

7、B=90°∴BC⊥AC又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC,BC平面ABC∴BC⊥平面PAC(2)又∵BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC理论迁移≠≠如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PABPABCE证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E，∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，∴AE⊥平面PBC∵BC平面PBC∴AE⊥BC∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC∴PA⊥BC∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB课堂练习3≠≠作业