主成分分析与经验正交函数分解的比较.pdf

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1、知识丛林主成分分析与经验正交函数分解的比较刘婷婷，张华（北京师范大学地理学与遥感科学学院，北京100875）摘要：在对原始资料没有限制的前提下，通过对主成分分析和经验正交函数分解两种分析方法推导过程的比较，文章认为在原始变量是距平（样本是中心化资料）或标准化距平（样本是标准化资料）时，两者的分析方法是相同的。但两者的含义有很大不同，主成分分析主要是为了寻找少数独立的变量来代替原来相关的多变量以达到压缩数据、简化运算的目的；经验正交函数分解主要是为了进行时空分解，通过分解成空间函数和时间函数来分析实际场的空间

2、结构。所以在应用两种方法时应当规范化，以突显两者含义上的差异。关键词：主成分分析；经验正交函数分解；比较中图分类号：O21文献标识码：A文章编号：1002-6487（2011）16-0159-04科学和规范。0前言1主成分分析主成分分析（PrincipalComponentAnalysis，PCA）和经验正交函数分解（EmpiricalOrthogonalFunction，EOF）是应用较主成分分析是研究如何将多指标化为较少的综合指标，为广泛的多元统计方法。因为在数学上，它们具有较为完整综合指标是原来多个指

3、标的线性组合，这些综合指标间互不的理论框架；在物理上，他们能简洁而巧妙的揭示出不同学相关，且能反映原来多指标的信息[8]。主成分分析从数学上科领域内的物理内涵；在计算方法和描述方式上，它们又能来考虑是这样一种数学方法，对于原来提出的反映某种现象适应于其他数学的、统计学的技巧[1，2]，所以它们有适应各种的所有变量（设为m个，m2），构成K个新变量学科领域的普适性。在对主成分分析和经验正交函数分解（Km），一则要求K个新变量互不相关，二则要求K个的应用过程中，有人认为两者在本质上是同一种分析方法，新变量在

4、反映现象的信息尽可能保持原有信息的原则下，使在应用时不应当再加以区分[3，4]；也有人认为经验正交函数K

5、1nöX=(xij)=ç⋮⋱⋮÷（1）函数分解中典型空间场的展开过程进行比较，是理解两者区çx⋯x÷èm1mnø别和联系的途径之一。气象工作者施能和吴洪堡都做过这主成分分析是通过对m个变量x（ii=1，2，…，m）方面的尝试[6，7]，并且认为PCA和EOF只有在原始变量是距进行线性变换形成新的变量Z，其中平（样本是中心化资料）或标准化距平（样本是标准化资料）TZ=(zij)=VX（2）时，两者的分析方法才相同。但施能只对主成分分析中主成æv11…vm1ö分的导出过程做了详细的推导，并没有对经验正交函数分解

6、V=(v1,v2,⋯,vm)=ç⋮⋱⋮÷（3）ç÷èv1m⋯vmmø中典型空间场的展开作出推导；吴洪堡则是在样本是中心化m资料的基础上对两者进行的推导。这些方面的不足会影响zij=vi1x1j+vi2x2j+⋯+vimxmj=∑vikxkj（4）k=1读者对两种方法本质区别的理解，本文试图在对原始资料没T设X=(x1,x2,⋯,xm)是m维随机向量，它的第k个主有限制的基础上对两者进行数学上的推导，期望能够更清楚T的显示两者的本质区别与联系，使两者在今后的应用中更加成分为zk=vkX，vk是m维的归一化向量

7、，并满足如下条基金项目：国家自然科学基金资助项目(40801050)，中国科学院知识创新工程重要方向项目（KZCX2-YW-Q10-4）作者简介：刘婷婷（1987-），女，河北保定人，硕士研究生，研究方向：人文地理学。张华(1979-)，男，湖北松滋人，博士，讲师，研究方向：经济地理、人口地理。统计与决策２０11年第16期（总第340期）159知识丛林T件：z1是一切形如z=vX中方差最大者；z2是一切形如z=vT1n--X中与z1不相关且方差最大者；zk是一切形如cov(z1,z2)=∑(z1j-z1)(

8、z2j-z2)z=vTX中与z,z,⋯,z不相关且方差最大者[9]。nj=112k-1-æ-Tö主成分分析在推导过程中寻求的是主成分的方差最大。ææx1j-x1ööçæx1j-x1ö÷（14）1nççx-x÷÷çççx-x÷÷÷1.1第一主成分的导出=çvT⋅ç2j-2÷÷⋅çç2j-2÷⋅v÷∑ç1ç÷÷çç÷2÷Tnj=1ç⋮---÷çç⋮---÷÷第一主成分z1是一切形如z=vX中方差最大者。ççèxmj-