拉格朗日中值定理在分析证明不等式中的应用.pdf

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1、第23卷第1期高等函授学报(自然科学版)Vol.23No.12010年2月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)2010·大学教学·拉格朗日中值定理在分析证明不等式中的应用崔瑞霞(河南省人口和计划生育干部学院,河南郑州45008)摘要:本文利用拉格朗日中值定理,对数学分析中诸多不等式给予了证明,从中可举一反三,以提高解题速度和能力。关键词:拉格朗日中值定理;不等式证明;中值定理的应用中图分类号:0172文献标识码:A文章编号:1006-7353(2010)01-0030-03关于拉格朗日中值定理的证明及应用有许多

2、又因为专门的研究,利用拉格朗日中值定理证明不等式cosξ≤1有许多方便之处.本文着重介绍如何利用拉格朗所以原式成立。p-1ppp-1日中值定理来分析证明一些常见的不等式。例2证明pb(a-b)1,a>b).p续;(ⅱ)在(a,b)可导.则在(a,b)内至少存在一证明设函数f(x)=x,则f(a)-f(b)=pp点ξ,使f′(ξ)=f(b)-f(a).a-b.不难看出f(x)在区间[b,a]上满足拉格b-a朗日定理条件,于是存在ξ∈(b,a),使拉格朗日中值定理也称中值公式或拉格朗日f(a)-f(b)=(a

3、-b)f′(ξ)公式,它也经常用另一种形式表示.由于ξ是(a,p-1p-1由于f′(x)=px,所以f′(ξ)=pξ,上b)内的一个点,故可表示成a+θ(b-a)(0<θ<式为1)的形式,于是定理的结论就可改为在(0,1)中ppp-1a-b=(a-b)pξ至少存在一个θ值,使f′(a+θ(b-a))=p因为x当p>1时为单调增函数,b<ξ

4、nx-siny≤x-y.即证明令f(x)=sinx,则f′(x)=cosx.p-1ppp-1pb(a-b)0),则其在[a,sinx-siny=cosξ(x-y)1即b]上连续,在(a,b)上可导,且f′(x)=.由拉xsinx-siny=cosξ.x-y格朗日中值定理,至少有一点ξ∈(a,b),使得收稿日期:2009-10-26.作者简介:崔瑞霞(1968-),女,河南郸城人,讲师,主要从事高等

5、数学教学及研究.30第23卷第1期高等函授学报(自然科学版)Vol.23No.12010年2月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)20101lnb-lna得=ξb-ab-aabbbb-a=-1

6、arctana-arctanb

7、≤

8、a-b

9、.证明令y=tan(x),则y′=secx证明设函数f(x)=arctanx,x∈(a,b).1=2.则f(x)在[a,b]上连续,在

10、(a,b)上可导.由拉格cosx朗日中值定理得在区间0,π上,由拉格朗日中值定理,存2b-aarctanb-arctana=2ξ∈(a,b)1+ξ在ξ∈(0,x),使2两边同时取绝对值tanx-tan0=secξ(x-0)1整理有arctanb-arctana=b-a21+ξ2tanx=xsecξ因为21

11、tanx

12、=

13、x

14、

15、secξ

16、=

17、x

18、

19、2

20、1cosξ2≤11+ξ又因为所以1

21、2

22、≥1,arctana-arctanb≤a-b.cosξ2灵活构造“a,b”的取值所以有b-abb-a

23、tanx

24、≥

25、x

26、.例5试证不等式

27、可证在区间-,0上原式成立。证明1令f(x)=lnx,(x>0),则f′(x)=21证毕。,由中值定理得xx例7证明0)b11+xln=lnb-lna=(b-a),a<ξ0).因为1则f′(x)=.111x+1<<,bξa由拉格朗日中值定理得ξ∈(0,x)使下式所以成立1b1(b-a)