导数在不等式证明中的应用-论文.pdf

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1、第9卷第1期贵阳学院学报(自然科学版)(季刊)V01．9No．4JOURNALOFGUIYANGCOLLEGEMar·20142014年3月NaturalSciences【Quarterly)一l—————————————————————————————————————————————————一导数在不等式证明中的应用李栋红(阳泉师范高等专科学校，山西阳泉045200)摘要：导数是高等数学微积分中的重要基础概念，也是高等数学研究的主要对象和方法之一，应用导数可以解决很多高等数学问题。本文就应用导数及相关理论证明不等式的问题进行分析论述并进行举例论证。关键词：导数；不等式

2、；lagrange中值定理；柯西中值定理中图分类号：013文献标识码：A文章编号：1673-6125(2014)01—0068—04TheapplicationofderivativeininequalityprovingLidong—hong(YangquanTeachersCollege，ShanxiYangquan045200)Abstract：Notonlyisderivativeafundamentalincalculus，butalsooneofthemajorresearchtargetsandap-conceptproachesinHigherMathe

3、matics．TheapplicationofderivativecouldbeusedtosolvequiteafewproblemswithregardingtoHigherMathematics．Thisarticleaimstoprovideanalysisandexamplesconcerningtheapplicationofderivativeanditsrelatedtheorytoproveinequality．Keywords：derivative；inequality；LagrangeMean——ValueTheorem；CauchyMean‘‘v

4、alueTheorem导数与物理、几何、代数关系密切，又名“微内的变量戈趋近于菇。时，商”，是由速度变化问题和曲线的切线问题(矢量丛羔L』竖立的极限。也就是说／(髫。)：lim。—’。O速度的方向)而抽象出来的数学概念。在一个式再一再0子中的数的关系不全是等号，即含不等符号的式子八戈)一八％。)就是一个不等式。不等式按照不等关系中含不含戈一Z0有“=”分为严格不等式与非严格不等式。用比较用导数的定义证明不等式的一般步骤：构造函法、分析法等来证明不等式是众所周知的普通方数使得结论的一边为Y=厂(‰)，利用导数的定义法，但并不能总是凑效，导数是高等数学研究的主给予证明。要对

5、象，是微积分中的重要基础概念，而利用微积例l：设函数八戈)=alsinx+a2sin2x+分中的导数概念和相关性质证明不等式，可以将导⋯fitnsinnx，其中口l，O,2·．-fit。都为实数，n为正整数，数概念及相关性质应用在不等式的证明中，充分体已知对于一切实数x，有I八石)I≤lsinxI，试证明现高等数学解决问题的优越性。8l+2口2+⋯n口。I≤1．分析：首先求函数八z)的导数，可以看出以0)1根据导数的定义证明不等式=n。+202+⋯M。，于是问题转化为I八0)I≤1对于一般的函数，如果不使用增量的概念，函的问题．数八戈)在点戈。处的导数也可以定义为：当定

6、义域证明：因为苁x)=口lCOSX+2a2cos2x+收稿日期：2013—12—05作者简介：李栋红(1970一)，女，山西盂县人，阳泉师范高等专科学校讲师。主要研究向：高等学与基础学。一68—⋯口。，lcos肼，ff0)=al+2a2+⋯nO,。，利用导数的Fb27h可得当算∈(o，+∞)时，厂(o)>0，定义得：IfrO)I：Ilf珈ira题生掣I：Ilimf(x)I戈一UJ刈戈所以F(菇)在(0，+∞)上是增函数，从而有，(x)>F(0)=0，所以石一In(1+x)>0=姆I赵}I，由于I八石)I≤lsi眦I所以I八o)I从而证明了当戈>0，有x>In(1+茗)成

7、立．≤1．．ira。l半I=1，即l81‘+2a2+‘．．哪。”I≤1x—．oZ例5：证明不等式：算一睾<1n(1+z)<茁，2运用函数的单调性证明不等式其中戈>0．函数单调性的导数定义：分析：通过构造、八石)=菇一冬一ln(菇+1)和设函数Y=以菇)在【n．6】上连续，在g(x)=In(菇+1)一算两个辅助函数，从而转化成(口，6)内可导。如果在(口，6)内厂(石)>0，那么两丽间的大小关系，最后比较三者的大小，从两得函数y=以石)在【口．6】上单调增加；如果在出结论。．．2(o，6)内厂(戈)<0，那么函数)，=以z)在证明：设以z)