中考数学专题复习练习：弦切角.doc

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1、例如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE=2，求△ABC各边的长．解：∵AD为⊙O的切线，∴∠BAE=∠C，∵AE平分∠CAB，∴∠BAC=2∠BAE，又∵∠C+∠BAC=90°，∴∠BAE=∠C=30°．则有BE=1，AB=，BC=3，AC=2．说明：此题应用弦切角、解直角三角形的知识，为基础题型．例（吉林省，2000）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC、BD相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6cm

2、，BC=4cm，求AE的长．证明（1）：∵XY是⊙O的切线，∴∠1=∠2∵BD∥XY，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∵∠3=∠4，∴∠2=∠4．∵∠ABD=∠ACD，又∵AB=AC．∴△ABE≌△ACD．解（2）：∵∠3=∠2，∠BCE=∠ACB，∴△BCE∽△ACB∴，∴，即．∵AB=AC=6，BC=4，∴．∴（cm）说明：①此题利用平行线、弦切角、圆周角等角的转换；②建立方程求线段的长度．例如图，P为⊙O的直径CB延长线上的一点，A为⊙O上一点，若=，AE交BC于D，且∠C=∠PAD.（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若∠BEA=30°，

3、ＢＤ＝１，求ＡＰ及ＰＢ长。证明（1）：连结AO，∵=，BC为直径，∴AE⊥BC，AD=DE，=∵OA=OB，∴∠C=∠3，∴∠1=2∠C又∵∠C=∠PAD，∴∠1=∠2∵∠1+∠4=90°，∴∠2+∠4=90°，∴PA⊥OA∴PA为⊙O的切线.解（2）：在Rt△EBD中，∵∠BEA=30°，ＢＤ＝１.∴BE=2，DE=在Rt△ODA和Rt△EBD中∠4=90°-∠1=90°-2∠C=90°-2∠E=30°=∠E，∠ODA=∠BDE，AD=ED∴Rt△ODA≌Rt△EBD，∴AD=DE=，OD=BD=1，OA=BE=2.在Rt△OAP中，∵AD

4、⊥OP，∴AD2=OD·DP，即=1·DP，∴DP=3，∴BP=2在Rt△ADP中根据勾股定理，得AP=．说明：此题为综合型题目．它主要应用弦切角、垂径定理、切线的判定、三角形全等和方程思想．典型例题四例如图，是的角平分线，以为弦的圆与相切于点，⊙交、于点、，求证：.分析：要证乘积式，只需证比例式，应证证明连结，⊙与相切于，平分，，又，，故.，即.说明：本题思路明确，转证乘积式为比例式，但在创建平行线过程中，弦切角与圆周角的性质起到关键作用.典型例题五例如图，为⊙的直径，过点作⊙的切线，交⊙于点，的延长线交于点，（1）求证：；（2）若厘米，求

5、、的长.分析：要证，即要证∽.证明（1）连结.∽又，，厘米.说明：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件.典型例题六例如图，已知是圆的弦，，是圆的切线，并且与弦的延长线相交于点，求证：.分析：欲证明乘积式，只需证比例式，只需证明∽.证明，，又是圆的切线，故∽，，即.说明：本题着重考查圆周角、弦切角以及创建相似三角形证明比例线段的基础知识和基本方法.本题是1996年上海中等学校招生试题，难度不大，但体现了证题的基本方法.典型例题七例如图，已知为⊙的弦，切⊙于，于，于，于，求证：.分析：要证，只需证，但要直接证明有困难，考

6、虑通过过渡比来解决.证明连结、说明：证明线段成比例，如果直接证明比较困难，就要想方设法找出过渡线段或过渡比，本例中的就是过渡比.典型例题八例已知：如图，设是正三角形外接圆上的一点，交于.求证：（1）（2）（3）证明（1）在上截取，连结.是正三角形又≌，.即又，是等边三角形.即（2），，∽，即.又，，∽由上所得：又即又，（3）由知，等式两边同时除以，得：由知，即.说明：本题利用圆中知识点，证明三角形相似，然后推出有关的比例式，证明结论.这是一道典型的综合题.有一定难度，望同学们多思考，多训练从而达到巩固知识，提高能力的目的.典型例题九例如图，C

7、D为⊙O的直径，AE切⊙O于B，DC的延长线交AB于A，.求：的度数.解连结CB.∵BE切⊙O于B，∵CD为直径，在中，说明：本题考查弦切角性质，解题关键是连结BC，构造弦切角，易错点是不能正确作出辅助线.典型例题十例（黑龙江省，1999）已知四边形ABCD为圆内接四边形，AD为圆的直径，直线MN切圆于B，DC的延长线交MN于G，若，则的值为多少？解连结BD.∵MN为⊙O的切线，为⊙O的直径，∵四边形ABCD为圆内接四边形，说明：本题综合考查弦切角与三角函数知识，解题关键是连BD，构成直角三角形，易错点是记错特殊角的三角函数值.典型例题十一例

8、（北京市海淀区，2000）已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，A是的中点，过A点的切线与CB的延长线相交于点E.（1）求证：；（2）若点E在CB延长线上运