高考数学专题复习教案： 数列的综合应用备考策略.doc

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1、数列的综合应用备考策略主标题：数列的综合应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。关键词：数列，数列的综合应用，备考策略难度：3重要程度：5内容考点一等差数列与等比数列的综合问题[例1]已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.[解]　(1)设{an}的公差为d，由题意得a＝a1a13.即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．于是d(2a1＋25d)＝0.又a1

2、＝25，所以d＝0(舍去)或d＝－2.故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n.【备考策略】解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，

3、再进行求解．考点二　数列在实际问题中的应用【例2】某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．解　(1)由题意，

4、得a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4500－d，an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.(2)由(1)，得an＝an－1－d＝－d＝an－2－d－d…＝a1－d整理，得an＝(3000－d)－2d＝(3000－3d)＋2d.由题意，得am＝4000，即(3000－3d)＋2d＝4000.故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元．【备考策略】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断

5、是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论．考点三　数列与函数、不等式的综合应用常考查：①以数列为载体，比较两项的大小或证明不等式；②以数列为载体，利用不等式恒成立求参数．在解答时需要我们抓住本质，进行合理变形、求和，再结合与不等式有关的知识求解，试题难度较大．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例3】设b＞0，数列{an}满足a1＝b，a

6、n＝(n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2an≤bn＋1＋1.[审题视点]　(1)对所给递推关系式变形(取倒数)后构造等比数列求解．(2)利用基本不等式放缩．[听课记录](1)解　由a1＝b＞0，知an＝＞0，＝＋.令An＝，A1＝.当n≥2时，An＝＋An－1＝＋…＋＋A1＝＋…＋＋.①当b≠1时，An＝＝；②当b＝1时，An＝n.所以an＝(2)证明　当b≠1时，欲证2an＝≤bn＋1＋1，只需证2nbn≤(bn＋1＋1).因为(bn＋1＋1)＝b2n＋b2n－1＋…＋bn＋

7、1＋bn－1＋bn－2＋…＋1＝bn＋＋…＋＞bn(2＋2＋…＋2)＝2nbn，所以2an＝＜1＋bn＋1.当b＝1,2an＝2＝bn＋1＋1.综上所述，2an≤bn＋1＋1.【备考策略】与数列有关的不等式证明常用的方法有：比较法(作差、作商)、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点．利用放缩法解决“数列＋不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩．