高考数学专题复习教案： 数列的概念与简单表示法备考策略.doc

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1、数列的概念与简单表示法备考策略主标题：数列的概念与简单表示法备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。关键词：数列的通项公式，数列的递推公式，an与Sn，备考策略难度：3重要程度：5内容考点一　由数列的前几项求数列的通项【例1】根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；(2)－，，－，，…；(3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b为实数)；(4)9,99,999,9999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式an＝2(n＋1)(n∈N*)．(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与

2、序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式an＝(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1000－1，10000－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1.【备考策略】(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含

3、着“从特殊到一般”的思想．考点二　由an与Sn的关系求通项an【例1】设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.(1)求a2的值；(2)求数列{an}的通项公式．解　(1)依题意，2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，所以a2＝4；(2)由题意2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，所以当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－，整理得(n＋1)an－nan＋1＝－n(n＋1)，即－＝1，又－＝1，故数列是首项为＝1，公

4、差为1的等差数列，所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2.【备考策略】已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．考点三　由递推公式求数列的通项公式递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如

5、通项公式直接.归纳起来常见的命题角度有：(1)形如an＋1＝anf(n)，求an；(2)形如an＋1＝an＋f(n)，求an；(3)形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an.一、　形如an＋1＝anf(n)，求an1．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．解：(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝(a1＋a2)＝6.(2)由题设知a1＝1.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，整理得an＝an－1.即＝.

6、∴an＝a1·····…···＝1·····…···＝(n≥2)当n＝1时，a1＝1.综上可知，{an}的通项公式an＝.二、形如an＋1＝an＋f(n)，求an2．已知a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求an.解：∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)．当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝n2＋.三、形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求an.解：∵an＋1＝3an

7、＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.【备考策略】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如三)转化为特殊数列求通项．