高考数学专题复习教案： 导数在研究函数中的应用备考策略.doc

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1、导数在研究函数中的应用主标题：导数在研究函数中的应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。关键词：导数，极值，最值，备考策略难度：4重要程度：5内容考点一　利用导数研究函数的单调性【例1】设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2.(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围．解　(1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2，∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)．令f′(x)>0，即x(ex－2)>0，∴x>ln2或x<0.令f′(x)<0，即x(ex－

2、2)<0，∴0

3、．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．考点二　利用导数研究函数的极值【例2】设f(x)＝alnx＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．审题路线　(1)由f′(1)＝0⇒求a的值．(2)确定函数定义域⇒对f(x)求导，并求f′(x)＝0⇒判断根左，右f′(x)的符号⇒确定极值．解　(1)由f(x)＝alnx＋＋x＋1，∴f′(x)＝－＋.由于曲线y＝f(x)在点(1，f

4、(1))处的切线垂直于y轴，∴该切线斜率为0，即f′(1)＝0.从而a－＋＝0，∴a＝－1.(2)由(1)知，f(x)＝－lnx＋＋x＋1(x>0)，∴f′(x)＝－－＋＝.令f′(x)＝0，解得x＝1或－(舍去)．当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，f(x)无极大值．【备考策略】(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)

5、在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．考点三　利用导数求函数的最值【例3】已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．审题路线　(1)⇒a，b的值；(2)求导确定函数的极大值⇒求得c值⇒求得极大值、极小值、端点值⇒求得最值．解　(1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，故有即化简得解得(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12.令f′(x)＝0，得x＝－2或2

6、.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－2)－2(－2,2)2(2,3)3f′(x)＋0－0＋f(x)9＋c·极大值·极小值·－9＋c由表知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.由题设条件知，16＋c＝28，解得c＝12，此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.【备考策略】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x

7、)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．