高考数学专题复习练习:高考专题突破五.docx

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1、1.(2015·课标全国Ⅱ)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为(  )A.B.2C.D.答案 D解析 如图,设双曲线E的方程为-=1(a>0,b>0),则

2、AB

3、=2a,由双曲线的对称性,可设点M(x1,y1)在第一象限内,过M作MN⊥x轴于点N(x1,0),∵△ABM为等腰三角形,且∠ABM=120°,∴

4、BM

5、=

6、AB

7、=2a,∠MBN=60°,∴y1=

8、MN

9、=

10、BM

11、sin∠MBN=2asin60°=a,x1=

12、OB

13、+

14、BN

15、=a+2acos60°=2a.将点M(x1,y1)的坐标代入-=

16、1,可得a2=b2,∴e===,选D.2.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-2,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足

17、OP

18、=

19、OF

20、,且

21、PF

22、=4,则椭圆C的方程为(  )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1答案 B解析 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),焦距为2c,右焦点为F′,连接PF′,如图所示,因为F(-2,0)为C的左焦点,所以c=2.由

23、OP

24、=

25、OF

26、=

27、OF′

28、知,∠FPF′=90°,即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得

29、PF′

30、===8.由椭圆定义,得

31、PF

32、+

33、PF′

34、=2a=4+8=12,所以a=6,a2=36

35、,于是b2=a2-c2=36-(2)2=16,所以椭圆的方程为+=1.3.(2017·太原质检)已知A,B分别为椭圆+=1(a>b>0)的右顶点和上顶点,直线y=kx(k>0)与椭圆交于C,D两点,若四边形ACBD的面积的最大值为2c2,则椭圆的离心率为(  )A.B.C.D.答案 D解析 设C(x1,y1)(x1>0),D(x2,y2),将y=kx代入椭圆方程可解得x1=,x2=,则

36、CD

37、=

38、x1-x2

39、=.又点A(a,0)到直线y=kx的距离d1=,点B(0,b)到直线y=kx的距离d2=,所以S四边形ACBD=d1

40、CD

41、+d2

42、CD

43、=(d1+d2)·

44、

45、CD

46、=··=ab·.令t=,则t2==1+2ab·=1+2ab·≤1+2ab·=2,当且仅当=a2k,即k=时,tmax=,所以S四边形ACBD的最大值为ab.由条件,有ab=2c2,即2c4=a2b2=a2(a2-c2)=a4-a2c2,2c4+a2c2-a4=0,2e4+e2-1=0,解得e2=或e2=-1(舍去),所以e=,故选D.4.(2016·北京)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则a=________.答案 2解析 设B为双曲线的右焦点,如图所示.∵四边

47、形OABC为正方形且边长为2,∴c=

48、OB

49、=2,又∠AOB=,∴=tan=1,即a=b.又a2+b2=c2=8,∴a=2.5.已知双曲线-=1(a>0,b>0)和椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为____________.答案 -=1解析 由题意得,双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点坐标为(,0),(-,0),c=且双曲线的离心率为2×==⇒a=2,b2=c2-a2=3,双曲线的方程为-=1.题型一 求圆锥曲线的标准方程例1 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A、B两点.若AB的

50、中点坐标为(1,-1),则E的方程为(  )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1答案 D解析 设A(x1,y1)、B(x2,y2),所以运用点差法,所以直线AB的斜率为k=,设直线方程为y=(x-3),联立直线与椭圆的方程得(a2+b2)x2-6b2x+9b2-a4=0,所以x1+x2==2,又因为a2-b2=9,解得b2=9,a2=18.思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型,主要利用圆锥曲线的定义、几何性质,解得标准方程中的参数,从而求得方程. (2015·天津)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-

51、2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为(  )A.-=1B.-=1C.-y2=1D.x2-=1答案 D解析 双曲线-=1的一个焦点为F(2,0),则a2+b2=4,①双曲线的渐近线方程为y=±x,由题意得=,②联立①②解得b=,a=1,所求双曲线的方程为x2-=1,选D.题型二 圆锥曲线的几何性质例2 (1)(2015·湖南)若双曲线-=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为(  )A.B.C.D.(2)(2016·天津)设抛物线(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C,AF与BC相交于点E.若

52、CF

53、=

54、2

55、AF

56、

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