常微分方程―二阶线性,常系数课件.ppt

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1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组第8章常微分方程高等数学A8.3几种高阶微分方程的解法8.3.2二阶线性微分方程的解法8.3.3二阶常系数齐次线性微分方程8.3几种高阶微分方程的解法非齐次方程求线性无关的解——常数变易法齐次方程求线性无关的解——降阶法8.3.2二阶线性微分方程的解法习例1-28.3.3二阶常系数齐次线性微分方程建立模型常系数方程的定义和解法模型求解与分析习例3-6n阶常系数方程的通解习例7-9二阶线性方程与二阶常系数齐次线性方程的解法降阶法与常数变易法1.齐次线性方程求线性无关特解------降阶法代入(1)式,得则有解得刘维尔公式齐次方程通解为降阶法

2、的一阶方程2.非齐次线性方程通解求法------常数变易法设对应齐次方程通解为(3)设非齐次方程通解为设(4)(5)(4),(5)联立方程组积分可得非齐次方程通解为例1例2的通解．解对应齐方一特解为由刘维尔公式对应齐方通解为例1设原方程的通解为解得原方程的通解为解上述可降阶微分方程,可得通解:例2的通解.解:对应齐次方程为由观察可知它有特解:令代入非齐次方程后化简得故原方程通解为补充内容可观察出一个特解模型.解:质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律立坐标系如图,设t=0时物体的位置为取其平衡位置为原点建因此定解问题为由8.3.

3、2的模型可知,位移满足常系数线性微分方程定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性微分方程形如的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，即特征方程二阶常系数齐线性微分方程的特征方程为是方程(1)的两个线性无关的解，故方程(1)的通解为二阶常系数齐线性微分方程的特征方程为由求根公式由刘维尔公式求另一个解：于是，当特征方程有重实根时，方程(1)的通解为二阶常系数齐线性微分方程的特征方程为3)特征方程有一对共轭复根：是方程(1)的两个线性无关的解，其通解为利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位i。欧拉公式：由线性方程

4、解的性质：均为方程(1)的解，且它们是线性无关的：故当特征方程有一对共轭复根时，原方程的通解可表示为二阶常系数齐线性微分方程特征方程特征根通解形式方程:特征方程:特征根:利用初始条件得:故所求特解:方程通解:1)无阻尼自由振动情况(n=0)解的特征:简谐振动A:振幅,:初相,周期:固有频率(仅由系统特性确定)方程:特征方程:特征根:小阻尼:nk临界阻尼:n=k解的特征解的特征解的特征小阻尼自由振动解的特征:由初始条件确定任意常数后变形运动周期:振幅:衰减很快,随时间t的增大物体趋于平衡位置.大阻尼解的特征:(

5、n>k)1)无振荡现象;此图参数:2)对任何初始条件即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.临界阻尼解的特征:(n=k)任意常数由初始条件定,最多只与t轴交于一点;即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.2)无振荡现象;此图参数:例4例3例5例6求解初值问题解特征方程为解得故所求通解为例3解特征方程为解得故所求通解为例4例5的通解.解特征方程特征根:因此原方程的通解为例6求解初值问题解特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为n阶常系数齐次线性微分方程形如的方程，称为n阶常系数齐线性微分方程，n阶常系数齐线性微分方程的特征方程为特征根通解中的对应项例8求下列方

6、程的通解：例7例9已知一个四阶常系数线性齐次微分方程的４个线性无关的特解为求这个微分方程及其通解.例7解例8求下列方程的通解：解故原方程的通解为故原方程的通解为例9已知一个四阶常系数线性齐次微分方程的４个线性无关的特解为求这个微分方程及其通解.解依题意有特征方程故所求微分方程为且其通解为