斐波那契数列资料.doc

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1、斐波那契数列精品文档斐波那契数列一、简介斐波那契数列（Fibonacci），又称黄金分割数列，由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入，推动了数学的发展。故斐波那契数列又称“兔子数列”。斐波那契数列指这样的数列：1,1,2,3,5,8,13,……，前两个数的和等于后面一个数字。这样我们可以得到一个递推式，记斐波那契数列的第i项为Fi，则Fi=Fi-1+Fi-2.兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子，从第三个月开始他们每个月都生一对兔子，新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。按此规律，并假定兔子没有死亡，10个月后共有多少个兔子？这道

2、题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列，第n个月兔子的数量是斐波那契数列的第n项。二、性质如果要了解斐波那契数列的性质，必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理。那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公式。令常数p,q满足Fn-pFn-1=q(Fn-1-pFn-2)。则可得：Fn-pFn-1=q(Fn-1-pFn-2)=q2(Fn-2-pFn-3)=…=qn-2(F2-pF1)又∵Fn-pFn-1=q(Fn-1-pFn-2)∴Fn-pFn-1=qFn-1-pqFn-2Fn-1+Fn-2-pFn-1-qFn-1+pq

3、Fn-2=0(1-p-q)Fn-1+(1+pq)Fn-2=0∴p+q=1,pq=-1是其中的一种方程组∴Fn-pFn-1=qn-2(F2-pF1)=qn-2(1-p)=qn-1Fn=qn-1+pFn-1=qn-1+p(qn-2+p(qn-3+…))=qn-1+pqn-2+p2qn-3+…+pn-1不难看出，上式是一个以p/q为公比的等比数列。将它用求和公式求和可以得到：而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1，可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0，这样就得到了一个标准的一元二次方程，配方得p2-p+0.25=1.25,(p-0.

4、5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。随意取出一组解即可：这就是著名的斐波那契数列通项公式。有了它，斐波那契数列的一些性质也不难得出了。比如斐波那契数列相邻两项的比值趋向于黄金分割比，即：收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档根据斐波那契数列通项公式，可以得到因为n是趋向于正无限的，因此我们可以知道：那么我们就可以把分子和分母的第二项同时省略掉，即这就是斐波那契数列的魅力之一——它和黄金分割比有密切的关系。下面将给出斐波那契数列的几个性质及其证明。1)F1+F2+F3+...+Fn=Fn+2-1证明：原式=(F3-F2)+(

5、F4-F3)+...+(Fn+2-Fn+1)=Fn+2-1.2)F1+F3+F5+...+F2n+1=F2n+2证明：原式=F2+(F4-F2)+(F6-F4)+...+(F2n+2-F2n)=F2n+23)F12+F22+...+Fn2=FnFn+1证明：利用数学归纳法，显然n=1时满足，下面证明若n=k时满足，n=k+1时也满足.已知F12+F22+...+Fn2=FnFn+1,F12+F22+...+Fn+12=FnFn+1+Fn+12=(Fn+1+Fn)Fn+1=Fn+1Fn+2，因此n+1后仍然满足.上述公式成立.4)F1F2

6、+F2F3+...+FnFn+1=(Fn+22-FnFn+1-1)/2证明：数学归纳法，n=1时满足.已知F1F2+F2F3+...+FnFn+1满足，那么收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档F1F2+F2F3+...+FnFn+1+Fn+1Fn+2=(Fn+22-FnFn+1-1)/2+Fn+1Fn+2=(Fn+22-FnFn+1+2Fn+1Fn+2-1)/2=[(Fn+22+2Fn+1Fn+2+Fn+12)-FnFn+1-Fn+12-1]/2=(Fn+32-Fn+1Fn+2-1)/2，因此上式成立.5)Fn2=Fn-1Fn+

7、1+(-1)n+1证明：数学归纳法，n=2时满足.已知前面的n都满足，那么Fn2=Fn-12+Fn-22+2Fn-2Fn-1=Fn-12+Fn-3Fn-1+(-1)n-1+2Fn-2Fn-1=Fn-1Fn+Fn-12+(-1)n-1=Fn-1Fn+1+(-1)n+1，因此上式成立.6)Fn+m=Fm-1Fn+FmFn+1(n>m>1)证明：利用通项公式，设α=,β=1-α=注意到1/α+α=sqrt(5)=1/β+β,1/α+β=0=1/β+α,上式就变成了这就是上述公式的证明.一、斐波那契数列与自然斐波那契数列中的斐波那契数会经常

8、出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。斐波那契数还可以在植物的叶、枝、