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1、新课引入前面讨论的定积分，都是在有限区间上的有界函数这类积分属于通常意义下的积分.的积分，但在实际问题中，还会遇到积分区间为无限或被积函数在积分区间上是无界的情况，这就需将定积分的概念推广，推广后的积分被称为广义积分.常义积分积分限有限被积函数有界推广无穷限的广义积分无界函数的广义积分10/5/20211第四节广义积分第五章（ImproperIntegrals)二、无界函数的广义积分一、无穷限的广义积分三、思考与练习10/5/20212一、无穷限（InfiniteIntervals）的广义积分引例曲线和直线
2、及x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为10/5/20213若存在,则称此极限为f(x)的无穷限广义积分,记作这时称广义积分收敛;如果上述极限不存在,就称广义积分发散.类似地,若则定义定义1设10/5/20214则定义(c为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的广义积分也称为第一类广义积分.并非不定型,说明:上述定义中若出现它表明该广义积分发散.10/5/20215引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式:10/5/20216证:当p=1时有当p≠1时有当p>1时收敛;p≤1时发
3、散.因此,当p>1时,广义积分收敛,其值为当p≤1时,广义积分发散.例1证明第一类p积分（课本例2）10/5/20217解:思考:分析:原积分发散!注意:对广义积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.例2计算广义积分10/5/20218二、无界函数（UnboundedFunctions）的广义积分引例:曲线所围成的与x轴,y轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为10/5/20219而在点a的右邻域内无界,存在,这时称广义积分收敛;如果上述极限不存在,就称广义积分发散.类似
4、地,若而在b的左邻域内无界,若极限数f(x)在[a,b]上的广义积分,记作则定义则称此极限为函定义2设10/5/202110若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类而在点c的无界函数的积分又称作第二类广义积分,无界点常称邻域内无界,为瑕点(奇点).例如,间断点,而不是广义积分.则本质上是常义积分,则定义说明:10/5/202111的计算表达式:则也有类似牛–莱公式的若b为瑕点,则若a为瑕点,则若a,b都为瑕点,则则可相消吗?注意:若瑕点10/5/202112提示：例3求积分x=0是瑕点故x=2是瑕点10/5
5、/202113证:当q=1时,当q<1时收敛;q≥1时发散.当q≠1时所以当q<1时,该广义积分收敛,其值为当q≥1时,该广义积分发散.例5证明广义积分（课本习题5－44）10/5/202114内容小结1.广义积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限2.两个重要的广义积分10/5/202115相转化.例如,(2)当一题同时含两类广义积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的广义积分.说明:(1)有时通过换元,广义积分和常义积分可以互10/5/202116课外练习习题5－41(2),(4),(6),(7)
6、;3(2),(4)思考练习1.习题5－45解：10/5/2021172.试证,并求其值.解:令10/5/20211810/5/202119
