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1、第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准则一、数列极限的定义第二节数列的极限数学语言描述:一、数列极限的定义引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.如图所示,可知当n无限增大时,无限逼近S.当n>N时,用其内接正n边形的面积总有刘徽(刘徽割圆术)定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).若数列及常数a有下列关系:当n>N时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释:即或则称该数列的极限为a,例如,趋势不定收敛发散例1.已知证明数列的极限为1.证:欲使即只要因此,取则当时,就有故例2.已知证
2、明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:取例3.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当n>N时,就有故的极限为0.二、收敛数列的性质证:用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有1.收敛数列的极限唯一.使当n>N1时,假设从而矛盾,因此收敛数列的极限必唯一.则当n>N时,故假设不真!满足的不等式例4.证明数列是发散的.证:用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限a存在.取则存在N,但因交替取值1与－1,内,而此二数不可能同时落在长
3、度为1的开区间使当n>N时,有因此该数列发散.2.收敛数列一定有界.证:设取则当时,从而有取则有由此证明收敛数列必有界.说明:此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.有数列3.收敛数列具有保号性.若且有证:对a>0,取推论:若数列从某项起(用反证法证明)**********************4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证:设数列是数列的任一子数列.若则当时,有现取正整数K,使于是当时,有从而有由此证明*********************三、极限存在准则由此性质可知,若数列有两个子数列收
4、敛于不同的极限,例如，发散!夹逼准则;单调有界准则;*柯西审敛准则.则原数列一定发散.说明:1.夹逼准则(准则1)(P50)证:由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故例5.证明证:利用夹逼准则.且由2.单调有界数列必有极限(准则2)(P52)(证明略)例6.设证明数列极限存在.(P53～P54)证:利用二项式公式,有大大正又比较可知根据准则2可知数列记此极限为e,e为无理数,其值为即有极限.又内容小结*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)(P55)数列极限存在的充要条件是:存在正整数N,使当时,证:
5、“必要性”.设则时,有使当因此“充分性”证明从略.有柯西内容小结1.数列极限的“–N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;*柯西准则思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处作业P301,*3(2),*4P564(1),(3)4(3)提示:可用数学归纳法证第三节故极限存在，备用题1.设,且求解：设
6、则由递推公式有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准则2.设证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“拆项相消”法
