高中数学课题之导数及其应用.pdf

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1、导数及其运用知识网络导数的定义导数的概念导数的物理及几何意义基本初等函数的导数公式导数的运算导数导数的四则运算法则及复合函数的导数函数的单调性研究导数的应用函数的极值与最值研究最优化问题计算定积分定积分与微积分的基本定理定积分的应用第1讲导数的概念及运算★知识梳理★1.用定义求函数的导数的步骤.yy（1）求函数的改变量Δy；（2）求平均变化率.（3）取极限，得导数f（x）=lim.0xx0x2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f（x）在某一点（x，y）处的导数是过点（x，y）的切线的0000物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i，s（t）

2、）处导数的意义是t=t处000的解析：斜率.；瞬时速度.3.几种常见函数的导数c'0（c为常数）；(xn)nxn1（nR）；(sinx)'；(cosx)'；11(lnx)；(logx)loge；xaxa(ex)'ex；(ax)'axlna.解析：cosx;sinx;4.运算法则①求导数的四则运算法则：u'(uv)'u'v'；(uv)'；(v0).vu'vuv'解析：u'vuv'；v2②复合函数的求导法则：f'((x))f'(u)'(x)或y'y'u'xxux★重难点突破★1.重点：理解导数的概念与运算法则

3、，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法2.难点：切线方程的求法及复合函数求导3.重难点：借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决有关的问题.（1）平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。问题1.比较函数f(x)2x与g(x)3x,当x[1,2]时,平均增长率的大小.点拨:解题规律技巧妙法总结:计算函数的平均增长率的基本步骤是(1)计算自变量的改变量xxx21(2)计算对应函数值的改变量yf(x)f(x)22yf(x)f(x)(3)计算平均增长率:21xxx21y2221y3231对于f(x)2x,13

4、,又对于g(x)3x,28x21x2112故当x[1,2]时,g(x)的平均增长率大于f(x)的平均增长率.（2）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则,问题2.已知y(1cos2x)2,则y.点拨：复合函数求导数计算不熟练,其2x与x系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:y2sin2x(1cos2x).设yu2,u1cos2x,则yyu2u(1cos2x)2u(sin2x)(2x)xux2u(sin2x)24sin2x(1cos2x)y4sin2x(1co

5、s2x).（3）求切线方程时已知点是否切点至关重要。问题3.求y2x23在点P(1,5)和Q(2,9)处的切线方程。点拨：点P在函数的曲线上，因此过点P的切线的斜率就是y在x1处的函数值；点Q不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．切忌直接将P，Q看作曲线上的点用导数求解。y2x23,y4x.y4x1即过点P的切线的斜率为4，故切线为：y4x1．y9设过点Q的切线的切点为T(x,y)，则切线的斜率为4x，又k0，000PQx202x26故04x，2x28x60.x1,3。x200000即

6、切线QT的斜率为4或12，从而过点Q的切线为：y4x1,y12x15★热点考点题型探析★考点1:导数概念题型1.求函数在某一点的导函数值f(xx)f(x)[例1]设函数f(x)在x处可导，则lim00等于0x0xA．f'(x)B．f'(x)C．f(x)D．f(x)0000【解题思路】由定义直接计算f(xx)f(x)f[x(x)]f(x)[解析]lim00lim00f(x).故选Bx0xx0(x)0f(xx)f(x)【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式limf(x)x0x0考点2.求曲线的切

7、线方程[例2](高明一中20XX届高三上学期第四次月考)如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)=.【解题思路】区分过曲线P处的切线与过P点的切线的不同，后者的P点不一定在曲线上.解析:观察图形,设P(5,f(5)),过P点的切线方程为yf(5)f'(5)(x5)即yf'(5)xf(5)5f'(5)它与yx8重合,比较系数知:f'(5)1,f(5)3故f(5)f(5)=2【名师指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切