高中数学导数及其应用复习题.pdf

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1、第四讲导数及其应用（2）f(xx)f(x)f(x)f(x)f(x2x)f(x)1．f(x)lim00lim0lim000x0xxxxxx02x00★★★突破重难点【范例1】已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值.（1）讨论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值；（2）过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程.【点晴】过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.【范例2】（安徽理）设a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2aln

2、x（x>0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2alnx＋1.【点晴】本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．1【范例2】已知定义在正实数集上的函数f(x)x22ax，g(x)3a2lnxb，其中2a0．设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用a表示b，并求b的最大值；（II）求证：f(x)≥g(x)（x0）．【点晴

3、】本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．变式：已知函数f(x)ln(exa)(a0).（1）求函数y=f(x)的反函数yf1(x)及f(x)的导数f(x);（2）假设对任意x[ln(3a),ln(4a)],不等式

4、mf1(x)

5、ln(f(x))0成立，求实数m的取值范围.【点晴】求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.1.（1）解：f(x)3ax22bx3，依题意，f(1)f(1)0，即3a2b30,

6、3a2b30.解得a1,b0.∴f(x)x33x,f(x)3x233(x1)(x1).令f(x)0，得x1,x1.若x(,1)(1,)，则f(x)0，故f(x)在(,1)上是增函数，f(x)在(1,)上是增函数.若x(1,1)，则f(x)0，故f(x)在(1,1)上是减函数.所以，f(1)2是极大值；f(1)2是极小值.（2）解：曲线方程为yx33x，点A(0,16)不在曲线上.设切点为M(x,y)，则点M的坐标满足yx33x.00000

7、因f(x)3(x21)，故切线的方程为yy3(x21)(xx)00000注意到点A（0，16）在切线上，有16(x33x)3(x21)(0x)化简得x38，解得x2.000000所以，切点为M(2,2)，切线方程为9xy160.2lnx2a2.解：（Ⅰ）根据求导法则有f(x)1，x0，xx故F(x)xf(x)x2lnx2a，x0，2x2于是F(x)1，x0，xx列表如下：x(0，2)2(2，∞)F(x)0F(x)]极小值F(2)Z故知F(x)在(

8、0，2)内是减函数，在(2，∞)内是增函数，所以，在x2处取得极小值F(2)22ln22a．（Ⅱ）证明：由a≥0知，F(x)的极小值F(2)22ln22a0．于是由上表知，对一切x(0，∞)，恒有F(x)xf(x)0．从而当x0时，恒有f(x)0，故f(x)在(0，∞)内单调增加．所以当x1时，f(x)f(1)0，即x1ln2x2alnx0．故当x1时，恒有xln2x2alnx1．3.解：（Ⅰ）设yf(x)与yg(x)(x0)在公共点(x，y)处的切线相同．003a

9、2∵f(x)x2a，g(x)，由题意f(x)g(x)，f(x)g(x)．x00001x22ax3a2lnxb，20003a2即由x2a得：xa，或x3a（舍去）．3a20x00x2a，00x015即有ba22a23a2lnaa23a2lna．225令h(t)t23t2lnt(t0)，则h(t)2t(13lnt)．于是21当t(13lnt)0，即0te3时，h(t)0；1当t(13lnt)0，即te3时，h(t)0．11故h(t

10、)在0，e3为增函数，在e3，∞为减函数，132于是h(t)在(0，∞)的最大值为he3e3．21（Ⅱ）设F(x)f(x)g(x)x22ax3a2lnxb(x0)，23a2(xa)(x3a)则F(x)x2