对策模型和算法上课讲义.ppt

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1、在对策论中，应有以下要素：(1)局中人。是指参与对抗的各方，可以是一个人，也可以是一个集团。在例1.1的甲、乙两名儿童就是局中人。(2)策略。是指局中人所拥有的对付其他局中人的手段、方案的集合。如例1.1中共有石头、剪子、布三种策略。(3)支付函数（或收益函数）。是指一局对策后各局中人的得与失，通常用正数字表示局中人的得，用负数字表示局中人的失。在例1.1的局中人甲的支付函数如表所示。7/29/20211乙石头剪子布甲石头01-1剪子-101布1-10例1.1　“石头--剪子--布”中儿童甲的支付函数当局中人得失总和为零时，称这类对策为零和对策；否则称为非零和对策。

2、当局中人只有两个，且对策得失总和为零，则称为二人零和对策，若总得失总和为常数，则称为二人常数和对策，若得失总和是非常数的，则称为二人非常数和对策。若二人对策双方的得失是用矩阵形式表示，则称支付函数为支付矩阵，相应的对策称为矩阵对策。通常，支付矩阵表示局中人A的支付函数。鞍点对策是对策的最基本策略，为更好地理解鞍点对策，先看一个简单的例子。1.对策的基本策略---鞍点对策例9.2设A、B两人对策，各自拥有三个策略：a1,a2,a3和b1,b2,b3,局中人A的支付（收益）矩阵由表1.2所示。试求A、B各自的最优策略。b1b2b3mina11391a26575a3842

3、2max859问题分析：从直观来看，局中人A应该出策略a1,因为这样选择，他有可能得到9.但局中人B看到了这一点，他出策略b1，这样局中人A不能得到9，而只能得到1.因此，局中人A也充分认识到这一点，他应当出策略a3,这样做，就有可能得到8，而这种情况下局中人B，就要出策略b3，局中人A也只能得到2.这样做下来，局中人A只能选择策略a2,而局中人B也只能选择策略b2，大家达到平衡，最后局中人A赢得的值为5，局中人B输掉的值为5.从上面的分析可以看出，无论局中人A选择什么策略，他赢得的值总是小于等于5，而无论局中人B选择什么策略，他输掉的值总是大于等于5，5就是支付矩

4、阵的鞍点。现讨论一般情况。假设局中人A的支付矩阵由表1.3所示。12…n1C11C12…Cn12C21C22…Cn2┆┆┆┆mCm1Cm2…Cmn其中局中人A有m个策略α1,…,αm,局中人B有n个策略β1,…,βn,分别记为S1={α1,…,αm},S2={β1,…,βn}C为局中人A的支付矩阵，而-C为局中人B的支付矩阵。因此，矩阵对策记为G={A,B;S1,S2,C},或G={S1,S2,C}对于一般矩阵对策，有如下定义和定理。定义9.1设G={S1,S2,C}是一矩阵对策，若等式成立，则记vG=,ci*j*并称vG为对策G的值。称使式(1)成立纯

5、局势(αi*,βj*)为G在纯策略下的解（或平衡局势），称αi*和βj*分别为局中人A、B的最优纯策略。定理9.1矩阵对策G={S1,S2,C}在纯策略意义下有解的充分必要条件是：存在纯局势(αi*,βj*)使得定义9.27/29/20219当矩阵对策的最优解不唯一时，有如下定理：定理9.2定理9.32.无鞍点的对策策略---混合对策如果支付矩阵有鞍点，选择鞍点对策是最优的对策策略，如果支付矩阵无鞍点，则需要选择混合对策。我们回过头再看例9.1（“石头--剪子--布”），对于支付矩阵,有没有纯最优策略。因此无法用定理9.1来确定最优策略。在这种情况下，只能求相应的混

6、合策略。类似于纯策略，混合策略有如下定义和定理。定义9.3设有矩阵对策G＝｛S1，S2，C｝称分别为局中人A和B的混合策略。称(x,y)(xS1*,yS2*)为一个混合局，称为局中人A的支付函数（赢得函数）。定义9.4设G*＝｛S1*，S2*，C｝是G＝｛S1，S2，C｝的混合扩充，若则称vG为对策G*的值。称使式(7)成立混合局势(x*,y*)为G在混合策略下的解，称x*和y*分别为局中人A和B的最优混合策略。定理9.4矩阵对策　G＝｛S1，S2，C｝在混合策略意义下有解的充分必要条件是：存在(xS1*,yS2*)使(x*,y*)为函数E(x,y)的一个鞍

7、点，即3.混合对策求解方法通常用线性规划方法求混合策略的解。设局中人A分别以x1,x2,…,xm的概率混合使用他的m种策略，局中人B分别以y1,y2,…,ym的概率混合使用他的n种策略。当A采用混合策略，B分别采用纯策略bj(j=1,2,…,n),A的赢得分别为依据最大最小原则，应有其中vA是局中人A的赢得值。将问题（9）写成线性规划问题也就是说，线性规划问题(10)～(13)的解就是局中人A采用混合策略的解。类似可求局中人B的最优策略的解。例9.3用线性规划方法求解例1的最优混合策略。按照线性规划（10）～（13）写出相应的LINGO程序，程序名：exam09