数学模型件上课讲义.ppt

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1、数学模型件5.1传染病模型描述传染病的传播过程.分析受感染人数的变化规律.预报传染病高潮到来的时刻.预防传染病蔓延的手段.不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理,而是按照传播过程的一般规律建立数学模型.背景与问题传染病的极大危害(艾滋病、SARS、)基本方法已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设若有效接触的是病人,则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为.2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致

2、病.建模~日接触率SI模型模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染.增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率建模~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数.mls/=模型3i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触使健康者感染的人数不超过原有的病人数1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0

3、t1di/dt<0>1,i0<1-1/i(t)按S形曲线增长接触数(感染期内每个病人的有效接触人数)i(t)单调下降模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者.SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为.2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/建模需建立的两个方程.模型4SIR模型无法求出的解析解先做数值计算,再在相平面上研究解析解性质(通常r(0)=r0很小)模型4SIR模型的数值解i(t)从初值增长到最大;t,i0.s(t)单调减;t,s0.04.设=1,=0.3,i0=0.02,s0=0.

4、98,用MATLAB计算作图i(t),s(t)及i(s)si相轨线i(s)模型4消去dtSIR模型的相轨线分析相轨线的定义域相轨线11si0D在D内作相轨线的图形，进行分析si101D模型4SIR模型相轨线及其分析传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方向P1s0imP1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/i(t)单调降至01/~阈值P3P4P2S0模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/的估计降低s0提高r0提高阈值1/降低(=/),

5、群体免疫忽略i0模型4预防传染病蔓延的手段降低日接触率提高日治愈率提高移出比例r0以最终未感染比例s和病人比例最大值im为度量指标.1/s0i0si10.30.30.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81220.02000.40.51.250.980.020.91720.020010.30.30.700.020.08400.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.65280.02000.40.

6、51.250.700.020.67550.0200,s0(r0)s,ims,im模型4SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例x<

7、益最大.调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长.1.道格拉斯(Douglas)生产函数产值Q(t)F为待定函数资金K(t)劳动力L(t)技术f(t)=f0(常数)模型假设静态模型每个劳动力的产值每个劳动力的投资z随着y的增加而增长，但增长速度递减yg(y)01.Douglas生产函数解释含义？Douglas生产函数产值Q,资金K,劳动力L,技术f0~资金在产值中的份额1-~劳动力在产值中的份额更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数1.Douglas生产函数~单位资金创造的产值~单位劳动力创造的产值w,r,K/L求资金与劳动