现代控制理论(8-11讲：第3章知识点)课件.ppt

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1、第三章线性控制系统的分析3-1线性定常系统的自由运动当系统的输入为零时，对应系统的状态方程是一个齐次方程的解的问题，即系统的自由解，是由初始状态引起系统自由运动的解。设系统的状态方程为：定义：若设：1将x(t)代入齐次方程，有故使方程两边相等，x(t)是其解。同理，若初始时刻为t0，则是齐次方程的解。23-2状态转移矩阵已知齐次方程的解的形式为:在数学上，称为矩阵指数函数。这里，通常记为：一、状态转移矩阵称为状态转移矩阵，故x(t)可改写为：3它表征了一个系统从初始状态到任意状态的转移和状态变量在状态空间中的不断

2、转移。其几何意义如下图所示：二、状态转移矩阵的性质4而56例题：对于线性时不变系统，在下面4个关于状态转移矩阵性质的选项中，其中不正确的是:(B)三、状态转移矩阵的计算1、按定义计算：7例：已知，求。此方法手工计算较繁杂，用计算机很方便；另外，计算结果并不是总能写成闭合形式。82、拉氏变换法：对上式取拉氏变换法:而3、化A为标准形已知存在非奇异P阵，使得（1）系统矩阵A的特征值互异:9则有证：10即（2）系统矩阵A具有n重特征值:则11习题:2.4(2)(3)2.5(1):1,212则其中：（2）系统矩阵A具有n

3、重特征值:13例：试求矩阵A的矩阵指数函数。解：(2).A为友矩阵，且重特征值仅有一个独立特征向量，直接构造Q阵：(3).可直接写出A阵的矩阵函数为：144、应用凯来-哈密顿(Cayly-Hamilton)定理Cayly-Hamilton定理:设系统A阵为n×n阵，其特征多项式为则A必满足其自身的零化特征多项式，即例1：已知系统矩阵为:故系统的零化特征多项式为:用A代替λ，则15例2：设矩阵为:试用Cayly-Hamilton定理，求A7-A3+2I。解：由Caylay-Hamilton定理，有故16推论1:若设

4、A为n×n阵，则可表示为A的一个有限多项式，其中A的最高次幂不高于(n-1)次，即为证：即而即An+1可用An-1次多项式表示出来。同理，An+2，An+3，…均可用An-1次多项式表示出来。而eAt是一个A，A2，…的多项式，当然其各项均可用An-1次多项式表示出来。即17推论2:设A为n×n阵，其特征值互异，则证：由Cayley-Hamilton定理知A与λ可互换，故应用推论1，有18将上式改写成矩阵形式，并解出α(t)即证。推论3:设A为n×n阵，其特征值为n重特征值λ1，则19证：上式对λ1求1~(n-1

5、)次导数，可得到(n-1)个方程，与上式联立，并改写成矩阵形式,即证。20例1：试求矩阵A的矩阵指数函数。解：当λ1=2时，有当λ2=-1时，有因为λ2=-1是重根，增加一个方程，即对上式求导一次，有联立以上3式，并代入λ1、λ2的值,可得21例2：已知系统的状态转移矩阵为：试求系统矩阵A。解：22例3：设某二阶系统的齐次状态矩阵为：试求该系统的状态转移矩阵Φ(t)和矩阵A。当时,当时解：由可以写出如下方程：而23习题:2.102.12(2)243-3线性定常系统的非齐次解1、直接法：设系统的非齐次方程为：两边同

6、乘，则有即为：对上式在区间内积分，则有25若t0=0，则2、拉氏变换法：对上式取拉氏变换法:故26例：求下列系统的时域响应：其中：u(t)=1(t)；；求x(t)。解:(1)、先求，有27结果完全一样；（2）、将代入解的形式，即有283-4线性时变系统的求解一、齐次方程:设线性时变系统的齐次方程为：令系统矩阵A(t)的各元在定义域[t0,tα]上绝对可积，且满足以下两个条件：则方程存在唯一解，其解为:29证：而当t=t0时，有是时变系统齐次方程的解。二、Φ(t,t0)的性质:证：而比较以上两式即证。30证：故即证

7、。三、非齐次方程:设系统的非齐次方程为：如果矩阵A(t)、B(t)的各元都绝对可积，则方程式存在唯一解，其解为：31证：用参数变易法证明，故设对上式求导，可得将(2)式代入(1)，可得由(3)式、(4)式，有上式两边在t0~t取积分，得到32令，并将(5)式代入(2)式，则四、Φ(t,t0)的计算:1、若，则2、若不满足A可交换的条件，则33例1：求时变系统:的状态转移矩阵。解：,则34例2：求时变系统:的状态转移矩阵Φ(t,0)。解：因为A(t)不可交换,故取前三项计算，近似求得时变系统状态转移矩阵求取相当复杂

8、，而且很难得到闭合形式，因而一般将其离散化，利用计算机进行迭代计算。35习题:2.10(1)(4)2.112.12(2)363-5线性定常离散系统的求解一、迭代法(递推法):已知线性定常离散系统的状态方程为：故有37说明：1.当系统初始条件已知，k≥0时的u(k)已知，则系统有唯一解；2.x(k)表示了状态空间中的一条离散轨迹,仅取决于k时刻前的u(k)；3.线性定常离散