用换元法与放缩法证明不等式上课讲义.docx

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1、用换元法与放缩法证明不等式用换元法与放缩法证明不等式一、换元法证不等式例1　已知a，b∈R，a2＋b2≤4.求证：

2、3a2－8ab－3b2

3、≤20.探究1　有些不等式直接证明较为困难，但通过换元的思想方法可使问题便于研究．常见的换元是三角换元，用三角代换把问题转化为三角问题，利用三角函数的性质就可解决．根据实际情况，实施的代换方法有：①若x2＋y2＝a2(a＞0)，可设x＝acosα，y＝asinα，α∈[0，2π)；②若＋＝1(a＞0，b＞0)，可设x＝acosα，y＝bsinα，α∈[0，2π)；③若

4、x2＋y2≤1，可设x＝rcosθ，y＝rsinθ(0≤r≤1)，θ∈[0，2π)；④对于，可设x＝cosθ或x＝sinθ；⑤对于，可设x＝tanθ或x＝cotθ；⑥对于，可设x＝secθ或x＝cscθ.思考题1　(1)设x＋y＝1，x，y∈(0，＋∞)，则x2＋y2＋xy的最小值为(　　)A.　　　　　B.C．－D．－(2)求证：－2x＋＋3≤.二、放缩法证明不等式例2　(1)对于任意n∈N*，求证：1＋＋＋＋…＋＜.(2)已知a，b，c均为正数，a＋b>c，求证：＋>.探究2　(1)利用放缩法证明不等

5、式应适当掌握放缩尺度，否则放的过大或缩的过小，如解析一中若从第二项开始放大，结果为原式＜1＋(1－＋－＋…＋－)＝2－＜2这样显然放的过大．(2)本例题是通过改变n2中一个因式或两个因式的大小达到放缩的目的，对于多项式可通过添上或去掉个别项达到放缩的目的．(3)均值不等式、绝对值不等式等一些重要不等式都可以作为放缩公式，另外自己应该总结一些常见的放缩公式，如：－＜＜－，真分数性质：>(a＞b＞0，m＞0)，＜－，n！＞2n－1(n≥3)，2n－1＞n＋1(n≥4)．思考题2　(1)已知a，b，c，d均为正

6、数，S＝＋＋＋，则一定有(　　)A．0

7、3a2－8ab－3b2

8、≤20.【思路】　本题主要考查证明不等式的常用方法，根据条件a2＋b2≤4的特征，可运用换元法进行证明．【解析】　∵a，b∈R，a2＋b2≤4，∴可设a＝rcosθ，b＝rsinθ(θ∈R)，其中0≤r≤2.∴

9、3a2－8ab－3b2

10、＝r2

11、3cos2θ－4sin2θ

12、＝5r2

13、c

14、os(2θ＋φ)

15、≤5r2≤20.∴原不等式成立．【讲评】　容易出现令a＝2cosθ，b＝2sinθ，θ∈[0，2π]这样错误的换元法，造成失误．探究1　有些不等式直接证明较为困难，但通过换元的思想方法可使问题便于研究．常见的换元是三角换元，用三角代换把问题转化为三角问题，利用三角函数的性质就可解决．根据实际情况，实施的代换方法有：①若x2＋y2＝a2(a＞0)，可设x＝acosα，y＝asinα，α∈[0，2π)；②若＋＝1(a＞0，b＞0)，可设x＝acosα，y＝bsinα，α∈[0，2π)；③若x

16、2＋y2≤1，可设x＝rcosθ，y＝rsinθ(0≤r≤1)，θ∈[0，2π)；④对于，可设x＝cosθ或x＝sinθ；⑤对于，可设x＝tanθ或x＝cotθ；⑥对于，可设x＝secθ或x＝cscθ.思考题1　(1)设x＋y＝1，x，y∈(0，＋∞)，则x2＋y2＋xy的最小值为(　　)A.　　　　　B.C．－D．－【解析】　∵x＞0，y＞0且x＋y＝1，∴xy≤()2＝.∴x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1－xy≥1－＝.当且仅当x=y=时取等号，故x2＋y2＋xy有最小值.【答案】　B(2)求

17、证：－2x＋＋3≤.【证明】　设函数y＝－2x＋＋3，设＝t，t∈[0，＋∞)，则x＝t2－1.∴y＝－2t2＋t＋5=-2(t-)2+≤.二、放缩法证明不等式例2　(1)对于任意n∈N*，求证：1＋＋＋＋…＋＜.【思路】　通过变形将数列{}放缩为可求和数列．【解析】　方法一：∵＝＜＝－(n≥2)，∴1＋＋＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋＝1＋＋(－＋－＋…＋－)＝＋－＝－＜.方法二：∵n∈N*，当n≥2时，n2＞n2－1＝(n＋1)(n－1)，∴＜＝(－)．∴1＋＋＋＋…＋<1＋(1－＋－＋－＋…＋－)＝1＋(

18、1＋－－)＝－(＋)＜.(2)已知a，b，c均为正数，a＋b>c，求证：＋>.【证明】　＋>＋＝，设f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝>0.∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数．又a＋b>c>0，∴>，∴＋>.探究2　(1)利用放缩法证明不等式应适当掌握放缩尺度，否则放的过大或缩的过小，如解析一中若从第二项开始放大，结果为原式＜1＋(1－＋－＋…＋－)＝2－＜2这样显然放的过大．(2)本例题是通过改变n2中一个因式或两个因式的