一、麦克劳林（Maclaurin）公式.ppt

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1、一、麦克劳林(Maclaurin)公式二、直接展开法三、间接展开法第五节函数的幂级数展开第六模块无穷级数泰勒(Taylor)公式如果函数f(x)在x=x0有直到(n+1)阶的导数，则在这个领域内有如下公式:一、麦克劳林(Maclaurin)公式①其中称为拉格朗日型余项.①式称为泰勒公式.就得到②②式称为麦克劳林公式.幂级数我们称之为麦克劳林级数.那么它是否以函数f(x)为和函数呢?③即那么，级数③收敛于函数f(x)的条件为若令麦克劳林级数③的前n+1项和为注意到麦克劳林公式②与麦克劳林级数③的关系，可知于是，当时，有反之，若必有这表明，麦克劳林级数③以f(x)为和函数的充要条件，这样，我

2、们就得到了函数f(x)的幂级数展开式：②④也表示了函数的幂级数展开式是唯一的.它就是函数f(x)的幂级数表达式.幂级数:称为泰勒级数.利用麦克劳林公式将函数f(x)展开成幂级数的方法，称为直接展开法.解例1试将函数f(x)=ex展开成x的幂级数.可以得到二、直接展开法因此我们可以得到幂级数显然，这个幂级数的收敛区间为(,+).因为⑥⑥注意到，对任一确定的x值，而级数⑥是绝对收敛的，因此其一般项当n时，≤所以，当n时,由此可知因此有⑥,e)(xxf=确实收敛于这表明级数解于是可以得到幂级数例2试将且它的收敛区间为因为所给函数的麦克劳林公式的余项为所以可以推知因此得到≤解而所以

3、根据幂级数可逐项求导的法则，可得例3试求函数三、间接展开法解注意到而函数的展开式由本章第四节例1可知例4将函数展开成x的幂级数.将上式两边同时积分因为幂级数逐项积分后收敛半径不变，所以，上式右端级数的收敛半径仍为R=1;故收敛域为1

4、面，以便于读者查用.≤其端点的收敛性与m有关.最后一个式子称为二项展开式，收敛区间为[1,1],例如当m>0时，当1