考研高等数学多元函数微分学课件.ppt

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1、多元函数微分学多元函数、极限、连续性多元函数偏导数、全微分多元函数微分的应用例如,二元函数定义域为圆域说明:二元函数z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.机动目录上页下页返回结束的图形一般为空间曲面.三元函数定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球多元函数的极限定义.设n元函数点,则称A为函数(也称为n重极限)当n=2时,记二元函数的极限可写作：P0是D的聚若存在常数A,对一记作都有机动目录上页下页返回结束对任意正数,总存在正数,切若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:设P(x,y)沿直线y=kx

2、趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例.讨论函数函数机动目录上页下页返回结束多元函数的连续性定义.设n元函数定义在D上,如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称n元函数机动目录上页下页返回结束连续.连续,例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周机动目录上页下页返回结束结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.证明在全平面连续.证:为初等函数,故连

3、续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得机动目录上页下页返回结束多元函数微分学多元函数偏导数的定义偏导数的求法全微分的定义及求法重要关系多元函数微分的应用定义.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数机动目录上页下页返回结束注意:同样可定义对y的偏导数若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为机动目录上页下页返回结束或y偏导数存在,函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注意：但在该点不一定连续.上节例目录上页下页返回结束已证f(x,y)在点(0,0)并不连

4、续!例1.求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.机动目录上页下页返回结束定理.若函数处偏导连续,在点t可导,则复合函数且有链式法则机动目录上页下页返回结束复合函数求导推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,机动目录上页下页返回结束又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示固定y对x求导,表示固定v对x求导口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导与不同,机动目录上页下页返回结束例1.设解:机动目录上页下页返回结束例2.解:机动目录上页下页返回结束例3.

5、设求全导数解:机动目录上页下页返回结束例4.求在点处可微,且设函数解:由题设(2001考研)机动目录上页下页返回结束一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1.设函数则方程单值连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足②③满足条件机动目录上页下页返回结束导数定理2.若函数的某邻域内具有连续偏导数,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),满足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确机动目录上页下页返回结束例.设解法1利用隐函数求导机动目录上页下页

6、返回结束再对x求导解法2利用公式设则两边对x求偏导机动目录上页下页返回结束例.设解:方程组两边对x求导，并移项得求练习:求机动目录上页下页返回结束答案:由题设故有高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导机动目录上页下页返回结束数:例.求函数解:注意:此处但这一结论并不总成立.机动目录上页下页返回结束的二阶偏导数及一、全微分的定义定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于x

7、,y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，机动目录上页下页返回结束处全增量则称此函数在D内可微.(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:得函数在该点连续机动目录上页下页返回结束偏导数存在函数可微即定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数同样可证证:由全增量公式必存在,且有得到对x的偏增量因此有机动目录上页下页返回结束反例:函数

8、易知但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:定理1的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!即:机动目录上页下页返回结束定理2(充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.机动目录上页下页返回结束所以函数在点可微.机动目录上页下页返回结束注意到,故有在点(0,0)可微.练习题在点(0,