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1、第三节泰勒级数二、泰勒定理三、将函数展开成泰勒级数一、问题的引入四、典型例题五、小结与思考1一、问题的引入问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？.内任意点如图:.K.2由柯西积分公式,有其中K取正方向.则34由高阶导数公式,上式又可写成其中可知在K内5令则在K上连续,6即存在一个正常数M,7在内成立,从而在K内圆周的半径可以任意增大,只要内成立.在的泰勒展开式,在泰勒级数8如果到的边界上各点的最短距离为那末在的泰勒展开式在 内成立．因为凡满足的必能使由上讨论得重要定理——泰勒展开定理在的泰勒级数的收敛半径至少等于 ，但9二、泰勒定理其中泰勒级数泰
2、勒展开式定理设在区域内解析,为内的一为到的边界上各点的最短距离,那末点,时,成立,当泰勒介绍10说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多;(想一想,为什么?)4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.(为什么?)11因为 解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性;所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多.注意问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？12那末即因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的.13三、将函数展开成泰勒级数常用方法:直接法和间接法.1.直接法:由泰勒展开定理计算系
3、数14例如，故有15仿照上例,162.间接展开法:借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式.间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.17例如，18附:常见函数的泰勒展开式1920例1解四、典型例题21上式两边逐项求导,22例2分析如图,23即将展开式两端沿C逐项积分,得解24例3解25例4解26例5解27例6解即微分方程对微分方程逐次求导得:2829五、小结与思考通过本课的学习,应理解泰勒展开定理,熟记五个基本函数的泰勒展开
4、式,掌握将函数展开成泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数.30奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题31奇函数的泰勒级数只含z的奇次幂项,偶函数的泰勒级数只含z的偶次幂项.思考题答案放映结束，按Esc退出.32泰勒资料Born:18Aug1685inEdmonton,Middlesex,EnglandDied:29Dec1731inSomersetHouse,London,EnglandBrookTaylor33
