西安交大复变函数课件4-4洛朗级数.ppt

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1、第四节洛朗级数二、洛朗级数的概念三、函数的洛朗展开式一、问题的引入五、小结与思考四、典型例题1一、问题的引入问题:负幂项部分正幂项部分主要部分解析部分同时收敛收敛2收敛半径收敛域收敛半径收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分R3结论:.常见的特殊圆环域:...4例如，都不解析,但在圆环域及内都是解析的.而2.问题:在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数?5所以即内可以展开成级数.也可以展开成级数：6二、洛朗级数的概念定理C为圆环域内绕的任一正向简单闭曲线.为洛朗系数.7证对于第一个积分:Rr.z..8对于第二个积分:9其中10下面证明11则12如果C为在圆环域内绕的任何一条

2、正向简单闭曲线.则可用一个式子表示为:[证毕]13说明:函数在圆环域内的洛朗展开式在圆环域内的洛朗(Laurent)级数.1)2)某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这就是f(z)的洛朗级数.定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法.14三、函数的洛朗展开式常用方法:1.直接法2.间接法1.直接展开法利用定理公式计算系数然后写出缺点:计算往往很麻烦.15根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.优点:简捷,快速.2.间接展开法16四、典型例题例1解由定理知:其中17故由柯西–古萨基本定理知:由高阶导数公式知:1

3、8另解本例中圆环域的中心z=0既是各负幂项的奇点,19例2内是处处解析的,试把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.解20oxy12112oxy由且仍有222oxy由此时23仍有24注意:奇点但却不是函数的奇点.本例中圆环域的中心是各负幂项的说明:1.函数在以为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有的负幂项,而且又是这些项的奇点,但是可能是函数的奇点,也可能的奇点.不是252.给定了函数与复平面内的一点以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例).回答：不矛盾.朗展开式是唯一的)问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性:指函数在某一个给定的圆环域

4、内的洛26解例327例4解28例5内的洛朗展开式.解293031五、小结与思考在这节课中,我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗级数的方法.将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点.32洛朗级数与泰勒级数有何关系?思考题33洛朗级数是一个双边幂级数,其解析部分是一个普通幂级数;思考题答案是一般与特殊的关系.洛朗级数的收敛区域是圆环域放映结束，按Esc退出.34