高中数学人教a版选修4-1配套课件:2_2 圆内接四边形的性质与判定定理.ppt

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1、第2课时 圆内接四边形的性质与判定定理【课标要求】1.理解圆内接四边形的两条性质定理,能应用定理解决相关的几何问题.2.理解圆内接四边形判定定理及推论,能应用定理及推论解决相关的几何问题.【核心扫描】1.用圆内接四边形的判定定理判断四点共圆.(重点)2.用圆内接四边形的性质定理解决相关问题.(难点)自学导引1.圆内接多边形(1)如果多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.(2)同样,如果四边形的四个顶点都在同一个圆上,则称该四边形为圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.2

2、.圆内接四边形的两个性质定理(1)定理1:圆的内接四边形的.(2)定理2:圆内接四边形的外角等于.对角互补它的内角的对角3.圆内接四边形的判定定理(1)圆内接四边形的判定定理如果一个四边形的,那么这个四边形的四个顶点共圆.(2)圆内接四边形的判定定理的推论如果四边形的一个外角等于,那么这个四边形的四个顶点共圆.对角互补它的内角的对角(3)判断四点共圆的常用方法①如果四个点与一定点的距离相等,那么这四个点共圆;②如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆;③如果一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四

3、边形的四个顶点共圆;④如果两个三角形有公共边,公共边所对的角相等且在公共边的同侧,那么这两个三角形的四个顶点共圆.试一试:判断下列各命题是否正确.(1)任意三角形都有一个外接圆,但可能不止一个;(2)矩形有唯一的外接圆;(3)菱形有外接圆;(4)正多边形有外接圆.提示(1)错误,任意三角形有唯一的外接圆;(2)正确,因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等;(3)错误,只有当菱形是正方形时才有外接圆;(4)正确,因为正多边形的中心到各顶点的距离相等.名师点睛1.(1)要注意圆内接四边形的四个内角都是圆周角这一特点.利用圆周

4、角定理,把圆周角与相应的圆心角联系起来,从而得出圆内接四边形性质定理1,然后在性质定理1的基础上,推出了性质定理2.(2)圆内接四边形的性质定理为证明角的相等或互补提供了理论依据,因而也为论证角边关系提供了一种新方法.2.掌握圆的内接四边形需注意的问题(1)在圆内接四边形的判定定理的证明中,利用了穷举法.所谓的“穷举法”就是当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种情况分别论证,最后获证结论的方法.在每一种情形的证明中都用到了反证法,要注意这些方法的应用.(2)圆内接四边形是圆内接多边形的一种特殊情况,它们的关系可以用集合

5、形式表示:{圆内接四边形}⊆{圆内接多边形}.(3)掌握一些常见的结论,例如,正多边形一定存在外接圆;三角形一定存在外接圆,并且三角形的外接圆的圆心(即外心)是三条边的垂直平分线的交点;圆内接梯形一定是等腰梯形等.(4)要注意圆内接四边形的性质定理和判定定理的综合应用.题型一 用圆内接四边形的性质定理解决与线段长度有关的问题【例1】在⊙O中,AC=AB,E是弦BC延长线上的一点,AE交⊙O于点D.求证:AC2=AD·AE.反思感悟要证明等积式,因比例式是等积式的一种特殊形式,故可转化为比例式.只需找到包含AC、AD、AE

6、的两个三角形来证明.而要证三角形相似,可借助圆内接四边形的性质,得出对应的角相等.【变式1】如图所示,AD是△ABC外角∠EAC的角平分线,AD与三角形的外接圆⊙O交于点D.求证:DB=DC.证明∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,又∵∠EAD=∠BCD,∠CAD=∠CBD.∴∠DBC=∠DCB.∴DC=BD.题型二 利用圆内接四边形的性质定理求角【例2】如图所示,已知四边形ABCD内接于圆,延长AB和DC相交于E,EG平分∠BEC,且与BC、AD分别相交于F、G.求证:∠CFG=∠DGF.[思维启迪]已知四边形AB

7、CD内接于圆,自然想到圆内接四边形的性质定理,即∠BCE=∠BAD,又EG平分∠BEC,故△CFE∽△AGE.下面易证∠CFG=∠DGF.证明因为四边形ABCD是圆内接四边形,所以∠ECF=∠EAG.又因为EG平分∠BEC,即∠CEF=∠AEG,所以△EFC∽△EGA.所以∠EFC=∠EGA.而∠EGD=180°-∠EGA,∠CFG=180°-∠EFC,所以∠CFG=∠DGF.反思感悟利用圆内接四边形的性质定理求角(1)观察图形,找出圆内接四边形的对角或外角与其内对角;(2)利用圆内接四边形的性质定理1或性质定理2求出所

8、要求的角.(3)当题目中出现圆内接四边形时,首先利用性质定理,再结合其他条件进行推理证明.【变式2】如图所示,在圆内接四边形ABCD中,AC平分BD,且AC⊥BD.∠BAD=72°,求四边形其余的各角.解∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠BAD+∠BCD=180°.又∵∠BAD=72°,∴∠BCD=108°.又∵A

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