函数与导数压轴题中零点问题.doc

《函数与导数压轴题中零点问题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、导数压轴题零点问题练习题一、解答题1．（2020·省高三考试）设函数，.（1）如果，求的解析式；（2）若为偶函数，且有零点，数的取值围.【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，所以，即.所以.（2）因为为偶函数，所以，即.因为有零点，所以方程有实数根.所以，所以.2．（2020·全国高三专题练习）已知函数，为的导函数.（1）求在处的切线方程；（2）求证：在上有且仅有两个零点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1），又，所以切点为.故在处的切线方程为；（2）因为为偶函数，且，则只需证明在上有且仅有一个

2、零点即可.，当时，故在上单调递减，因为，，由零点存在定理，可知存在使得，所以在上有且仅有一个零点，因此在上有且仅有两个零点.3．（2020·省高三期末）已知函数在区间存在零点．（1）求的围；（2）设，是的两个零点，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）由题意，方程在区间有解，即方程在区间有解，设函数，即在区间存在零点．因为，①若，则，，成立，在区间单调递增，，，，所以在区间存在零点；②若，则，在单调递减，且，所以在区间无零点；③若，则，，当时，，故在区间无零点；综上所述，．（2）由（1）可知，时

3、，在区间单调递减，在区间单调递增，且在区间存在一个零点；又，，所以在区间也存在一个零点，从而，所以，不等式得证．4．（2020·省高三月考）已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）当时，判断函数在区间上零点的个数.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】（1）∵，∴，因为，所以，当x变化时，的变化情况如下表：100递增极大值递减极小值递增由表可得当时，有极大值，且极大值为，当时，有极小值，且极小值为.（2）由（1）得．∵，∴.①当时，在上单调递增，在上递减又因为所以在（0,1）和（1,2）上各有一个零

4、点，所以上有两个零点．②当，即时，在上单调递增，在上递减，在上递增，又因为所以在上有且只有一个零点，在上没有零点，所以在上有且只有只有一个零点.综上：当时，在上有两个零点；当时，在上有且只有一个零点．5．（2020·省棠湖中学高三月考）已知设函数.（1）若，求极值；（2）证明：当，时，函数在上存在零点.【答案】（1）取得极大值0，无极小值（2）见证明【解析】（1）当时，，定义域为，由得．当变化时，，的变化情况如下表：极大值故当时，取得极大值，无极小值．（2），．当时，因为，所以，在单调递减．因为，，所以有且仅

5、有一个，使，当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减．所以，而，所以在存在零点．当时，由（1）得，于是，所以．所以．于是．因为，所以所以在存在零点．综上，当，时，函数在上存在零点．6．（2020·省高三期末）已知函数.（1）若，求函数的所有零点；（2）若，证明函数不存在的极值.【答案】(1)(2)见证明【解析】（1）当时，，函数的定义域为，且．设，则．当时，；当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，（当且仅当时取等号）．即当时，（当且仅当时取等号）．所以函数在单调递增，至多有一个零点.因为，是函

6、数唯一的零点.所以若，则函数的所有零点只有．（2）证法1：因为，函数的定义域为，且．当时，，由（1）知．即当时，所以在上单调递增．所以不存在极值．证法2：因为，函数的定义域为，且．设，则．设，则与同号．当时，由，解得，．可知当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增．由（1）知．则．所以，即在定义域上单调递增．所以不存在极值．7．（2020·省高三期末）已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；（Ⅱ）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线.【答案】（Ⅰ）在，单调递增，证明见

7、解析；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）的定义域为，因为，所以在，单调递增.因为，，所以在有唯一零点，因为，由，得；因为，所以在有唯一零点.综上，有且仅有两个零点.（Ⅱ）由题设知，即，由，得，曲线在处的切线为：，即.由，得，则曲线的斜率为的切线的切点横坐标满足，解得，代入，得，故曲线的斜率为的切线方程为，即，由，得，从而与为同一条直线.8．（2020·高三月考）已知函数（a为常数）的最大值为0.（1）数a的值；（2）设函数，当时，求证：函数有两个不同的零点，（），且.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）函数的定

8、义域为：，当时，，则函数在上单调递增，无最大值；当时，令，即，解得，所以函数在上单调递增，上单调递减，，易知函数与函数的图像相交于点，所以方程的解为；（2）当时，则在上单调递增，又因为，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，所以函数有两个不同的零点，，故.9．（2020·省高三期末）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个不同零点，，证明：且.【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）详见解