高中数学压轴题系列——导数专题——函数零点或交点问题.doc

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1、高中数学压轴题系列——导数专题——函数零点或交点问题头条号：延龙高中数学微信：gyl_math1231．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x（a∈R）在x=0处取得极值．（1）求实数a的值；（2）证明：ln（x+1）≤x2+x；（3）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．【解答】（1）解：f′（x）=，∵在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，∴﹣1=0，解得a=1．经过验证a=1时，符合题意．（2）证明：当a=1时，f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x，其定义域为{x

2、x＞﹣1}．f′（x）==，令f′（x）=0，解得x=0．当x＞0时

3、，令f′（x）＜0，f（x）单调递减；当﹣1＜x＜0时，令f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴f（0）为函数f（x）在（﹣1，+∞）上的极大值即最大值．∴f（x）≤f（0）=0，∴ln（x+1）≤x2+x，当且仅当x=0时取等号．（3）解：f（x）=﹣x+b即ln（x+1）﹣x2+x﹣b=0，令g（x）=ln（x+1）﹣x2+x﹣b，x∈（﹣1，+∞）．关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根⇔g（x）=0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根．g′（x）=﹣2x+=，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上单调递增．当x∈（1，2）时，g′（x

4、）＜0，∴g（x）在（0，1）上单调递减．∴，∴．2．已知函数f（x）=（x∈R），当x=2时f（x）取得极值．（1）求a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）若关于x的方程f（x）﹣2m+1=0在x∈[﹣2，1]时有解，求实数m的取值范围．解：（1）．∵当x=2时f（x）取得极值，∴f′（2）=0，∴a=2；（2），由f′（x）＞0得﹣1＜x＜2；由f′（x）＜0得x＜﹣1或x＞2，所以函数f（x）的增区间是（﹣1，2），减区间是（﹣∞，﹣1），（2，+∞）（3）由（2）知函数f（x）在[﹣2，﹣1）单减，在（﹣1，1]单增．当x∈[﹣2，1]时，fmin（x）=﹣1，，依题意，所以3．（

5、2018•南平一模）已知函数f（x）=lnx﹣（a+1）x，g（x）=﹣ax+a，其中a∈R．（1）试讨论函数f（x）的单调性及最值；（2）若函数F（x）=f（x）﹣g（x）不存在零点，求实数a的取值范围．解：（1）f（x）=lnx﹣（a+1）x，函数的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣（a+1）=，a+1＜0即a＜﹣1时，1﹣（a+1）x＞0，故f′（x）＞0，f（x）递增，无最值，a+1≥0即a≥﹣1时，令f′（x）＞0，解得：x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；故f（x）min=f（）=﹣ln（a+1）﹣1；（2）F（x）=lnx﹣（a+1）

6、x﹣+ax﹣a=lnx﹣x﹣﹣a，F′（x）=﹣1+=，令F′（x）＞0，解得：x＜2，令F′（x）＜0，解得：x＞2，故F（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，故F（x）max=F（2）=ln2﹣2﹣1﹣a=ln2﹣3﹣a，若F（x）不存在零点，则ln2﹣3﹣a＜0，解得：a＞ln2﹣3．4．（2018•榆林三模）设函数f（x）=ax3+bx2﹣x（x∈R，a，b是常数，a≠0），且当x=1和x=2时，函数f（x）取得极值．（1）求f（x）的解析式；（2）若曲线y=f（x）与g（x）=﹣3x﹣m（﹣2≤x≤0）有两个不同的交点，求实数m的取值范围．解：（1）f'（x）=3ax2+2bx

7、﹣1，…（2分）依题意f'（1）=f'（2）=0，即，解得a=﹣，b=…（4分）∴f（x）=﹣x3+x2﹣x…（5分）（2）由（1）知，曲线y=f（x）与g（x）=﹣3x﹣m（﹣2≤x≤0）有两个不同的交点，即x3﹣x2﹣2x﹣m=0在[﹣2，0]上有两个不同的实数解…（6分）设φ（x）=x3﹣x2﹣2x﹣m，则φ′（x）=x2﹣x﹣2，…（8分）由φ'（x）=0的x=4或x=﹣1当x∈（﹣2，﹣1）时φ'（x）＞0，于是φ（x）在[﹣2，﹣1]上递增；当x∈（﹣1，0）时φ'（x）＜0，于是φ（x）在[﹣1，0]上递减．…（10分）依题意有⇔⇔0≤m＜，∴实数m的取值范围是0≤m＜．…（13

8、分）5．（2018•广元模拟）已知函数f（x）=2lnx﹣x2+ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=ax﹣m图象在上有两个不同的交点，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2lnx﹣x2+2x，f′（x）=﹣2x+2，切点坐标为（1，1），切线的斜率k=f′（1）=2，则切线方程为y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1