矩阵的特征值与特征向量教学教材.ppt

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1、第五章矩阵的特征值与特征向量在经济理论及其应用中常要求一个方阵的特征值和特征向量的问题数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题也都要用到特征值的理论引言纯量阵lE与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即(lEn)An=An(lEn)=lAn．矩阵乘法一般不满足交换律，即AB≠BA．数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即l(AB)=(lA)B=A(lB)．Ax=lx?例：2一特征值与特征向量定义:非零列向量X称为A的对应于特征值的特征向量定义6设A是n阶矩阵如果对于数，存在n维非零列向量X,使AXX成立则称

2、为方阵A的一个特征值第一节矩阵的特征值与特征向量p117AXX如何求特征值和特征向量?即齐次方程有非0解齐次方程有非0解的充要条件是系数行列式为0即

3、IA

4、0(2)

5、IA

6、0称为方阵A的特征方程二特征多项式与特征方程定义设A为n阶方阵(1)f()

7、IA

8、称为方阵A的特征多项式即即(3)方阵A的特征值就是特征方程

9、IA

10、0的根所以方阵A的特征值也称为方阵A的特征根齐次线性方程组的每一个非零解向量，都是方阵A的对应于特征值的特征向量所以方阵A对应于每一个不同特征值的特征向量都有无

11、穷多个三特征向量定理1如果非零向量X为矩阵A对应于特征值的特征向量则CX(C≠0为任意常数）也是A对应于特征值的特征向量定理2如果X1，X2为矩阵A对应于特征值的特征向量，且X1+X2≠0，则X1+X2也是A对应于特征值的特征向量，即:矩阵A对应于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍然为A对应于特征向量(不能为0)综上所述,求矩阵A的特征值及特征向量的步骤如下:第一步计算矩阵A特征多项式

12、IA

13、;第二步求出矩阵A的特征方程

14、IA

15、=0的全部根,即求得A的全部特征值1，1，---n，(其中可能

16、有重根）第三步对于A的每个特征值i,求出对应的齐次线性方程组（iIA）X=0的一个基础解系.矩阵A对应于特征值i的全部特征向量为例1求矩阵的特征值和特征向量解(1)A的特征方程为所以A的特征值为142-2(2)当14时其基础解系可取为则矩阵A对应于特征值14的全体特征向量为例1求矩阵的特征值和特征向量解(3)当2-2时其基础解系可取为则矩阵A对应于特征值2-2的全体特征向量为例2求矩阵的特征值和特征向量解(1)A的特征方程为所以A的特征值为1224(2)当12

17、时其基础解系可取为则矩阵A对应于特征值12的全体特征向量为例2求矩阵的特征值和特征向量解(3)当24时其基础解系可取为则矩阵A对应于特征值24的全体特征向量为例3求矩阵的特征值和特征向量解(1)A的特征方程为所以A的特征值为124，32例3求矩阵的特征值和特征向量解A的特征值为1=2=432(2)当12=4其基础解系可取为则矩阵A对应于特征值12=4的全体特征向量为例3求矩阵的特征值和特征向量解A的特征值为1=2=432(3)当3=2其基础解系可取为则

18、矩阵A对应于特征值32的全体特征向量为例4求矩阵的特征值和特征向量解(1)A的特征方程为所以A的特征值为1=2=132例4求矩阵的特征值和特征向量解A的特征值为1=2=132(2)当12=1其基础解系可取为则矩阵A对应于特征值12=1的全体特征向量为例4求矩阵的特征值和特征向量解A的特征值为1=2=132(3)当32其基础解系可取为则矩阵A对应于特征值3=2的全体特征向量为在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值（重根按重数计算）．设n阶矩阵A的特征值为l1,l2,…

19、,ln，则l1+l2+…+ln=a11+a22+…+annl1l2…ln=

20、A

21、（利用根与系数的关系可证，证明不要求。但性质本身需牢固掌握）四特征值与特征向量的性质例5设是方阵A的特征值证明(1)2是A2的特征值证明因为是A的特征值故有X0使AXX于是(1)A2X2X(AX)A(X)A(AX)所以2是A2的特征值因为X0知0有XA1X由AXX(2)当A可逆时(2)当A可逆时,是的特征值是的特征值例5：设l是方阵A的特征值，证明(1)l2是A2的特征值

22、；(2)当A可逆时，1/l是A−1的特征值．结论：若非零向量p是A对应于特征值l的特征向量，则l2是A2的特征值，对应的特征向量也是p．lk是Ak的特征值，对应的特征向量也是p．当A可逆时，1/l是A−1的特征值，对应的特征向量仍然是p．一般地，令则例6：设3阶方阵A的特征值为1,−1,2，求A*+3A−2E的特征值．解：A*+3A−2E=

23、A