线性代数期末考试题答案.doc

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1、线性代数B期末试题解答05一、判断题(正确填√，错误填×。每小题2分，共10分>1．A是n阶方阵，且｜A｜≠0，则n元方程组AX＝b有唯一解。　<√）2．A，B是同阶相似方阵，则A与B有相同的特征值。　<√）3．如果X1与X2皆是AX=b的解，则X1＋X2也是AX=b的解。(×>4．若A为n阶方阵，其秩r5．从A中划去一行得到矩阵B，则A的秩≥B的秩。<√）二、单项选择题<每小题3分，共15分）1．设A是n阶矩阵，其伴随矩阵为A＊，E为单位矩阵。则AA*为(A><

2、A）

3、A

4、E(B>E(C>A*(D>不能乘2．设A、B、C同为n阶方阵，且满足ABC＝E，则必有(B>(C>3n·(D>3·5n4．设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r

5、件　　(pg-ef>。2．为3阶矩阵，且满足6,则=__1/6__，33·62=972。3．设齐次线性方程组的系数矩阵A＝此方程有可能无解吗?你的回答及理由是不可能，齐次方程组总有解，当β取值为　-5　　时方程组有无穷多解。PtCfXhBjKQ4．已知是四元方程组AX＝b的三个解，其中的秩=3，，，则方程组AX＝b的通解为。5．设，则｜A｜＝-54　，A的秩R(A>是　3　。四、计算下列各

6、题<每小题8分，共24分）。1.设且知AX－A=3X，求矩阵X。解：2.已知向量组求向量组A的秩；判断向量组的相关性；求其一个极大无关组；将其余向量用极大无关组线性表示。解：R(A>=3；是一最大无关组；3.设P－1AP＝Λ，　求A11　。解：五、解方程组<本题8分）已知方程组取什么值时方程组有解？在有解的情况下，求方程组的通解。解：当a=0,b=2时方程组有解，这时:方程组的通解为：X=(-23000>T+C1(1–2100>T+C2(1–2010>T+C3(5–6001>TPtCfXhBjKQC1,C

7、2,C3位任意常数。六、<本题8分）已知二次型求一个正交变换将二次型化成标准形，并确定其是否正定。解：非正定。七．证明题<每小题5分，共10分）。1.若A，B都是n阶方阵，如果AB＝0，证明R(A>+R(B>≤n。证明：由题设，B的各列属于AX=0的解空间,于是R(B>≤n-R(A>,因此：R(A>+R(B>≤n。1.设A为n阶非零矩阵，A＊是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，当A＊＝AT时，证明｜A｜≠0　。证明:设A=(aij>,由题设aij不全为零。令B=AAT=(bij>,则B不是零矩阵，其对角元

8、:若｜A｜=0，则有：AAT=AA*=｜A｜A=0,矛盾。线性代数试题解答(04>一、1．。4．选D。A错误，因为，不能保证；B错误，的基础解系含有个解向量；C错误，因为有可能，无

9、解；D正确，因为。PtCfXhBjKQ5．选A。A正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵，使得，因此都相似于同一个对角矩阵。三、1．<按第一列展开）2．；<=）3．相关<因为向量个数大于向量维数）。。因为，。4．。因为，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。PtCfXhBjKQ5．<四、1．解法一：。将与组成一个矩阵，用初等行变换求。=。故。解法二：。，因此。2．解：，，。3．解法一：由方程组有无穷多解，得，因此其系数行列式。即或。当时，

10、该方程组的增广矩阵于是，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个基础解系，原方程组的一个特解，故时，方程组有无穷多解，其通解为，PtCfXhBjKQ当时增广矩阵，，此时方程组无解。解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。由于该方程组有无穷多解，得。因此，即。求通解的方法与解法一相同。4．解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵，因此得到其特征值为，。再求特征值的特征向量。解方程组，得对应于特征值为的两个线性