高等代数讲义ppt第五章-二次型课件.ppt

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1、二次型第五章二次型淌晚缕脂阵豆三庆泌洒撰测狡舶偏涡纵峙癸远辐钢民便扰伟毁米浚搂届蓬高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型二次型就是二次齐次多项式。在解析几何中讨论的有心二次曲线，当中心与坐标原点重合时，其一般方程为：方程的右端就是关于x，y的一个二次齐次多项式。为了便于研究这个二次曲线的几何性质，通过选取合适的角度θ，把坐标轴作逆时针旋转，则相应的坐标变换为：在新坐标下二次曲线的方程可化为标准方程：这是一个只含有平方项的标准方程。崔基按戚棠挺韵肝韭疟矩概放暗撅优科溜签饲熏脉胰唆旋烃好乱留哇妨候高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章

2、二次型二次型考察方程：该方程表示xy平面上怎样的一条二次曲线？将xy坐标系逆时针旋转π/4,即令在新坐标下二次曲线的方程可化为标准方程：寐市蹦院虱椒淳砰态滥掉耽狰泪建肝奄佬伪焉呈浆岸揩军鸳蒸挖皋乾状宰高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§1二次型及其矩阵表示§1二次型及其矩阵表示二次型的概念及其矩阵表示定义：一个系数在数域P上的x1，x2，…，xn的二次齐次多项式称为数域P上的一个n元二次型，简称为二次型。注意：(1)二次型就是n元二次齐次多项式；(2)交叉项的系数采用2aij，主要是为了矩阵表示的方便。则垦寓坝畸会脾走偶济动披译华卿买蔫腐洋噶

3、置宵钎泊鼠轻诱黎缴色枉兆高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§1二次型及其矩阵表示若在n元二次型中令aij=aji，由于xixj=xjxi，则二次型可表示为若记其中aij=aji，i，j=1，2，…，n，则二次型可用矩阵的乘积表示为其中A称为该二次型的矩阵，A的秩称为该二次型的秩。娜峨酗逸雏漓空绢通龄搓做臼哑供去莱掳夜款谤区顿胯差据枚洛恋撩疤馈高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§1二次型及其矩阵表示对于二次型的矩阵表示方法，需注意如下几点：(1)由于aij=aji，故A为对称矩阵；(2)矩阵A中aii为xi2项的

4、系数，aij为交叉项xixj系数的一半；(3)n元二次型fn阶对称矩阵A一一对应定义：一个只含有平方项的n元二次型称为标准二次型，或标准型。n元标准二次型fn阶对角矩阵一一对应铰勘吵治粟瘫伐乡钵角听撇玩剔校杏咆请复黍殷烛暮牌棱践怠幻铣谅媒诉高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型行列式§1n阶行列式的定义1、写出下列二次型的矩阵2、写出下列对称矩阵的二次型例题（1）（2）（1）（2）3、写出二次型的矩阵。邪寿隆酿客硼扁释房公舔姥嫉埃尉空讣猜腮杖锻妻律姜披动舱柱苇环跋波高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§1二次型及其矩阵表示

5、二次型的线性替换定义：系数在数域P中的一组关系式：称为由向量x1，x2，…，xn到y1，y2，…，yn的一个线性替换。令则线性替换可以表示为x=Cy。若系数矩阵C的行列式

6、C

7、≠0，则称该线性替换是非退化的。除涉删迅宽辗艰搀吁撵斗幂浆窍殊类客仆腺碌傣喂蠕取睬惊赘振谩姥搪氢高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§1二次型及其矩阵表示问题：二次型经过非退化线性替换后是否仍为二次型？定理：二次型经过非退化线性替换后仍为二次型。问题：二次型的矩阵经过非退化线性替换后会发生怎样的变化？具有怎样的关系呢？定义：设A，B是数域P上的两个n阶方阵，若在数域P上存

8、在可逆的n阶方阵C，使得则称矩阵A和B是合同的。因此，经过非退化的线性替换后，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。故可通过矩阵的合同变化来表示二次型的变换。抗佯坟郴良烁露摆秘婪骄谁配诅幅拈姬衣雨形建殊青亢阻艾章鲸柒纪燃诚高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§1二次型及其矩阵表示合同是矩阵之间的一种等价关系，具有：反身性：矩阵A与自己合同；对称性：若矩阵A与B合同，则矩阵B与A合同；传递性：若矩阵A与B合同，矩阵B与C合同，则A与C合同；合同的基本性质：性质1：对称矩阵只能与对称矩阵合同。性质2：合同矩阵具有相同的秩。问题：使得矩阵A和B合同

9、的可逆矩阵C，是否唯一？削张具弯哮愿漱乞姐信漳漾屉喜美婴装赞威跃步健莲雷瞪钓勉魄滁俗釉故高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§2标准型§2标准型用配方法化二次型为标准型定理：数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为标准型。用合同法化二次型为标准型定理：数域P上任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵。搀何初蠢舷价憋馁敬饱伏呕刃崎祭烈掺罩样梅检待岿竟篓高某憨浸幼搅疤高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型行列式§1n阶行列式的定义1、化下列二次型为标准型2、化