高等代数课件（北大版）第五章二次型.ppt

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1、第五章二次型§5.1二次型的矩阵表示§5.2标准形§5.3唯一性§5.4正定二次型章小结与习题9/20/2021数学与计算科学学院一、n元二次型二、非退化线性替换三、矩阵的合同四、小结§5.1二次型的矩阵表示9/20/2021数学与计算科学学院解析几何中选择适当角度θ,逆时针旋转坐标轴(标准方程)中心与坐标原点重合的有心二次曲线问题的引入:9/20/2021数学与计算科学学院代数观点下作适当的非退化线性替换只含平方项的多项式二次齐次多项式(标准形)9/20/2021数学与计算科学学院一、n元二次型1、定义：设P为数域，称为数域P上的一个n元二次型．①n个文字

2、的二次齐次多项式9/20/2021数学与计算科学学院注意2)式①也可写成1)为了计算和讨论的方便,式①中　　的系数写成9/20/2021数学与计算科学学院1）约定①中aij=aji，i

3、　　下，二次型完全由对称矩阵A决定.)9/20/2021数学与计算科学学院例1　1）实数域R上的2元二次型3）复数域C上的4元二次型它们的矩阵分别是：2）实数域R上的3元二次型9/20/2021数学与计算科学学院二、非退化线性替换1、定义：是两组文字,，关系式③称为由的一个线性替换;若系数行列式

4、cij

5、≠0,则称③为非退化线性替换.9/20/2021数学与计算科学学院.0它是非退化的.∵系数行列式例2解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度即变换9/20/2021数学与计算科学学院2、线性替换的矩阵表示则③可表示为X=CY④若

6、C

7、≠0，则④为非退化线性替

8、换.注1）③或④为非退化的为可逆矩阵.2）若X＝CY为非退化线性替换，则有非退化线性替换　　　　　.9/20/2021数学与计算科学学院即，B为对称矩阵.3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型————————————————事实上，是一个　　　　　二次型.9/20/2021数学与计算科学学院三、矩阵的合同1）合同具有对称性：传递性:即C1C2可逆.反身性:注:1、定义：设　，若存在可逆矩阵使，则称A与B合同.9/20/2021数学与计算科学学院3）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵.2）合同矩阵具有相同的秩.2、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与A与B合同.二次

9、型X´AX可经非退化线性替换化为二次型Y´BY进而，有:C可逆原二次型矩阵是合同的.9/20/2021数学与计算科学学院例2　证明：矩阵A与B合同，其中一个排列.证：作二次型9/20/2021数学与计算科学学院故矩阵A与B合同.对　　　　　　　作非退化线性替换则二次型化为（注意的系数为　）9/20/2021数学与计算科学学院练习写出下列二次型的矩阵其中9/20/2021数学与计算科学学院答案9/20/2021数学与计算科学学院--4.解：9/20/2021数学与计算科学学院四、小结n元二次型：非退化线性替换：，或X=CY，

10、C

11、≠0.基本概念矩阵的合同：9/

12、20/2021数学与计算科学学院基本结论1、二次型经过非退化线性替换仍为二次型.3、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.2、二次型X´AX可经非退化线性替换化为二型Y´BY9/20/2021数学与计算科学学院