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《微积分一》曲线的凹向与拐点课件.ppt

《微积分一》曲线的凹向与拐点课件.ppt

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时间：2020-08-10

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1、§4.6曲线的凹向与拐点不仅要考虑曲线的单调性，还要考虑曲线的弯曲方向.观察与思考曲线弯曲的方向与其切线的位置有什么关系?定义42(曲线的凹向)凹曲线位于切线的上方凸曲线位于切线的下方如果在某区间内曲线弧位于其上任意一点的切线的上方则称曲线在这个区间内是凹的如果在某区间内曲线弧位于其上任意一点的切线的下方则称曲线在这个区间内是凸的凹：凸：设函数f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数那么如果x(a,b)时恒有f(x)0则曲线yf(x)在(a,b)内凹如果x(a,b)时恒有f

2、(x)0则曲线yf(x)在(a,b)内凸定理47(凹向的判断)定理47(凹向的判断)定理47设函数f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数那么如果x(a,b)时恒有f(x)0则曲线yf(x)在(a,b)内凹如果x(a,b)时恒有f(x)0则曲线yf(x)在(a,b)内凸定义43(拐点)凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点定理47(凹向的判断)定理47设函数f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数那么如果x(a,b)时恒有f(x)0则曲线yf(x)在

3、(a,b)内上凹如果x(a,b)时恒有f(x)0则曲线yf(x)在(a,b)内下凹定义43(拐点)曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点说明1.拐点既然是曲线凹弧与凸弧的分界点那么在拐点左右邻近f(x)必然异号因而在拐点处f(x)0或f(x)不存在2.拐点是几何意义上的点，零点、驻点均是横坐标x.解例1求曲线yx42x31的凹向与拐点y4x36x2y12x212x12x(x1)得x10x21令y0列表判断可见曲线在区

4、间(0)(1)内凹在区间(01)内凸曲线上点(01)和(10)是拐点yyx(-,0)0(0,1)1(1,+)001(拐点)0(拐点)解当x2时y0y不存在列表判断因此曲线在区间(,2)内凸在区间(2,)内凹拐点是(2,0)yyx(-,2)2(2,+)不存在0(拐点)

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