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1、第27卷第1期宁夏大学学报(自然科学版)2006年3月Vol.27No.1JournalofNingxiaUniversity(NaturalScienceEdition)Mar.2006文章编号:02532328(2006)01001803广义解析函数的Riemann边值逆问题王明华(渝西学院数学与计算机科学系,重庆402168)摘要:给出了一种广义解析函数Riemann边值逆问题的一般提法,讨论了此问题正则型情况的可解性,利用广义解
2、析函数边值问题的有关理论,得到了该问题的可解条件及解的表达式.关键词:广义解析函数;Riemann边值逆问题;正则型;可解性分类号:(中图)O175.8(2000MR)45E;30E文献标志码:A解析函数的边值问题在物理学和工程技术等许复方程(2)在区域D内的正则解w(z)(即w(z)多实际问题中有着重要的应用,其研究成果已较为在D内几乎处处满足复方程(2),又w(z)在D内每成熟.作为边值逆问题,其研究也已起步.文献[1]从一点的邻域内连续,且属于Dz)称为广义解析函数.力学背
3、景对特殊情形的解析函数的Riemann边值为叙述方便,称复方程(2)为系统Ap(A,B,D)(或逆问题进行了初步的探讨.文献[2]则研究了由路见Ap,2(A,B,D)),称w(z)为系统Ap(A,B,D)(或可教授提出的一类解析函数的Riemann边值逆问Ap,2(A,B,D))的广义解析函数.题.文献[3]讨论了广义解析函数的一类Riemann由文献[4]知,对于1/2(t-z),1/2i(t-z),存在边值逆问题.本文给出较文献[3]更为一般的广义解析1(t,z)=Tf1-Tf1z=t,函
4、数Riemann边值逆问题的提法:2(t,z)=Tf2-Tf2z=t,+-Gi1(t)w(t)=Gi2(t)w(t)+gi(t)(t)+hi(t),式中f1(z),f2(z)Lp,2(E),tL,i=1,2.Tf=-f()/(-z)d!/∀,利用广义解析函数的Riemann边值问题,讨论了此E边值问题的可解性,并给出了其可解条件及解的表使得(t,z)达式.若令G1i1(t)=1,hi(t)=0,i=1,2,则可得文献X1(z,t)=e/2(t-z),(t,z)[3]的情形.特别地
5、,本文并不要求Gi1(t)(i=1,2)X2(z,t)=e2/2i(t-z)(3)无零点,因而对文献[3]进行了实质性的推广.为系统Ap,2(A,B,E)的解,称之为系统Ap,2(A,B,E)的考虑平面区域上标准形式的一阶椭圆型齐次方带有极点t的基本广义解析函数组.现考虑函数程组#1(z,t)=X1(z,t)+iX2(z,t),ux-vy=au+bv,uy+vx=cu+dv,(1)#2(z,t)=X1(z,t)-iX2(z,t),(4)式中a,b,c,d均为区域D内点(x,y)的已知函数,称之
6、为系统Ap,2(A,B,E)的基本核.易知基本核满满足条件a,b,c,dLp(D),或a,b,c,dLp,2(D)足系统Ap,2(A,B,E),并且(D无界),其中p>2.引进复变函数w(z)=u+iv,1-2/p#1(z,t)-=Oz-t,z=x+iy,则方程组(1)可写成复形式t-z-2/pwz=Aw+Bw,(2)#2(z,t)=Oz-t,式中wz=(wx+iwy)/2;A=(a+d+ic-ib)/4;B=当z(z!)固定并且t∀!时-1-1(a-d+ic+ib)/4,且满足条件A
7、(z),B(z)#1(z,t)=Ot,#2(z,t)=Ot.(z)Lp(D),或A(z),B(z)Lp,2(D)(D无界).P(z)=p(z)e称为系统Ap,2(A,B,E)的广收稿日期:20050310基金项目:重庆市教委科研基金资助项目(KJ051206)作者简介:王明华(1964),男,教授,硕士,研究积分方程与边值问题.第1期王明华:广义解析函数的Riemann边值逆问题19义多项式,其中p(z)为通常意义下的多项式,(z)=化为广义解析函数R
8、iemann边值问题,分齐次与非T(A+Bw/w).若p(z)为复常数,则称P(z)为系统齐次情形,讨论正则型广义解析函数Riemann边值Ap,2(A,B,E)的广义常数.问题,进而获得齐次与非齐次问题的可解性结论.-12.1齐次R-1问题1问题的提法-1齐次R-1问题的边值条件为+-设L=L0+L1+#+LN为N+1条互不相交G11(t)w(t)=G12(t)w(t)+g1(t)(t),的光滑闭曲线的全体,且L0包含L1,#,LN在其内G+-21(t)w(t)=G22(t)w(t)+
