函数向量riemann边值逆问题

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1、第38卷第12期西南师范大学学报(自然科学gt)2013年12月Vo1．38No．12JournalofSouthwestChinaNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Dec．2013文章编号：lO0O一5471(2013)12—0028—05函数向量Riemann边值逆问题①王明华重庆文理学院数学与财经学院，重庆永川402160摘要：给出了一类全纯函数向量Riemann边值逆问题的一般提法．分齐次和非齐次两种情形，讨论了此边值逆问题正则型情况的可解性．利用全纯函数向量Riemann边值问题的有关理论，获得了该边值逆问题的

2、可解条件和解的表示式．关键词：函数向量；Riemann边值问题；Riemann边值逆问题中图分类号：O175．8文献标志码：A复分析边值问题在物理学和工程技术等实际问题中有着广泛的应用，其研究已较为丰富和成熟．对于边值问题的逆问题，有较强的力学背景，但其研究还很不充分．文献[1—4]研究了解析函数的Riemann边值逆问题，首先探讨了在力学背景下提出的特殊情形的Riemann边值逆问题，然后给出了Riemann边值逆问题在数学上的合理提法，并研究了其可解性，最后提出并研究了最一般情形的Riemann边值逆问题，并将其应用于奇异积分方程组的求解．文献[5—6]研究了

3、广义解析函数的特殊和一般情形的Riemann边值逆问题．文献[7—8]分别提出并研究了解析函数的Riemann—Hilbert和Dirichlet边值逆问题．文献[9]则将Riemann边值逆问题的研究拓展到了无穷直线上．对于函数组的边值逆问题，由于涉及矩阵运算，而矩阵乘法不满足交换律，其研究要复杂得多．文献[10]利用函数组Riemann边值问题的已有结论，讨论了一类特殊的函数组Riemann边值逆问题，给出了问题的解法及其封闭解．本文给出一类全纯函数组的Riemann边值逆问题的一般提法，讨论此边值逆问题正则型情况的可解性，利用全纯函数组Riemann边值问题

4、的有关结论，得到该边值逆问题的可解条件和解的表示式．本文中函数组Riemann边值逆问题的提法较文献El02更为一般化，其对系数函数矩阵和函数组的要求更为宽松，更符合实际问题的要求，是对文献ElO]的实质性推广．另一方面，本文对函数组Riemann边值逆问题的解法克服了文献[10]中因矩阵乘法不满足交换律所带来的困难．1问题的提法设L为复平面内一光滑闭曲线，取逆时针方向为其正向，记其内域为，外域为，且不妨设0∈．本文讨论的全纯函数向量Riemann边值逆问题简称问题，即：求一对函数向量((z)，())，其中①收稿日期：2O12—08—08基金项目：重庆市教育委员会

5、科学技术研究基金资助项目(KJ051206)．作者简介：王明华(1964一)，男，重庆潼南人，教授，主要从事积分方程与边值问题的研究第12期王明华：函数向量Riemann边值逆问题29()一(1()，2()，⋯，(z))为以L为跳跃曲线的分区全纯向量，其在L上的边值属于H类函数向量；(￡)一(1(￡)，(￡)，⋯，())为L上的H类函数向量，满足边值条件G11矿一G12+g+矗∈L(1)【G21(￡)(￡)一G22()一()+g2()()+h2(￡)其中G7()(，尼一1，2)为L上的H类已知×阶函数矩阵，g()(一1，2)为L上的H类已知×阶对角函数矩阵，h(￡

6、)(一1，2)为L上的H类已知维函数列向量．记fGo(￡)一G11()g2()一G21(￡)g1(){G()一g2()G。(￡)一g1()G2()(2)IG2(￡)一g2()Gl2(￡)一g1()G22()若detG，()≠0一0，1，2，tEL)，则称问题为正则型的，此时称一[1。gdet(Ec()]～G2())：]L一Fargdet([G1()]G2())](3)为问题的指标．否则，称问题为非正则型的．如果要求()在。。处至多为阶的，则记爱问题为．特别地，一，。是两种重要的特殊情形，前者要求(o。)一0，后者要求(oo)有限．本文只讨论正则型的R问题．2问题的

7、解法下面分齐次与非齐次两种情况，分别讨论问题的可解性．2．1齐次R问题齐次爱问题的边值条件为』一2+g1∈L(4)【G21()()一G22()()+g2()()将(4)式的第一式两端左乘函数矩阵g()，第二式两端左乘函数矩阵g(￡)，然后相减得到G1()。‘()一G2()(￡)tEL(5)由于detG(f)≠0，将(5)式改写为’。()一G()(￡)tEL(6)其中G()一[G1()]G()(7)显然G()为L上的H类已知，z×阶函数矩阵，且detG(￡)≠0，因而问题(6)为正则型的函数向量的齐次Riemann边值问题．由文献E11J可知，问题(6)的总指标为(

8、3)式所给