一些无穷级数和积分的关系.pdf

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1、一些无穷级数和积分的关系上海黄之先给出一些有趣的无穷级数的积分表达.1.;2.;3.;4..这些式子在描述着某种连续与离散的内在关联,下面来证明这些看上去很奇妙的连续与离散的关系.一.首先求一个积分:,其中t为非负整数,r为非负实数.当时,,由此递推关系得.二.再求积分:,其中m为实数,r为正实数,t为非负整数.由前面的积分,容易得到.所以.三.现在来证明本文开头的式子.在E(m,r,t)中,1.取m=r=t=1即得到1;2.取m=-1,r=t=1即得到2;3.取m=t=1,r=2即得到3;4.取r=t=1即得到4,显然2是4的特例.(I)若取m=t=1,r>0则得到

2、,其分母为一个首项为1,公差为r的算术序列中的项的幂.(II)若取m=-1,t=1,r>0则得到:.例如(III)若取m=1,t=3,r>0则得到:.并且由(II)顺便得到:在r>0时单调递增且有,有极限:,.其中,最后的一个极限比较有趣.