中国海洋大学实变函数期末试题.doc

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1、中国海洋大学2010学年秋季学期期末考试试卷数学科学学院实变函数课程试题(A卷)优选专业年级学号姓名授课教师座号----------------装----------------订----------------线----------------共2页第1页注：第一题的答案请直接写在试卷上！一.填空、是非题（30分）1.若，则是闭集;若，则是可数集.2.设，则导集，边界，闭包.3.无限的孤立集的基数为，上连续函数全体的基数为.4.设集列定义为，，则上限集，下限集.5.设，则.6—10题为是非题，填

2、“对”或“错”6.是无限集的充要条件是可以和自己的某个真子集对等.()7.任意多个零测集的并集还是零测集.()8.可测集上的可积函数一定是上几乎处处有限的函数.()9.若，则在几乎处处等于零.()10.可测集的全体是一个-代数.（）授课教师命题教师或命题负责人签字赵元章2010年11月日院系负责人签字年月日数学科学学院实变函数课程试题(A卷)共2页第2页一.定理，定义及举例.（30分）1.（6分）陈述Fatou引理.2.（6分）陈述Lebesgue控制收敛性定理.3.(8分)举例说明由可测导不出可

3、测.4.（10分）给出依测度收敛的定义，并列举一个依测度收敛的例子.二.证明题(40分)1.设，是在集合上定义的实函数，且单调增加，对任意的，有.证明.2.证明：中以互不相交的开区间为元素的集合是至多可数集.3.设是可测集上几乎处处有限的函数，对任意的，存在闭集，使且在上连续.证明是上的可测函数.4.设是可测集且，是上几乎处处有限的可测函数，证明对，存在闭集使得且在上连续有界.5.设是有界可测集上处处有限的非负可测函数，.证明在上可积的充要条件是.