聊城大学实变函数期末试题

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1、《实变函数》一、单项选择题1、下列各式正确的是（CD）（A）;（B）（C）;（D）;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（D）（A）c(B)(C)(D)3、下列说法不正确的是（B）(A)凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可测4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是(A)（A）若,则(B)是可测函数（C）是可测函数;（D）若,则可测5.下列说法不正确的是(C)(A)的任一领域内都有中无穷多个点，则是的聚点(B)的任一领域内至少有一个中异于的点，则是的

2、聚点(C)存在中点列，使，则是的聚点(D)内点必是聚点6.设在上可积,则下面不成立的是(C)(A)在上可测(B)在上a.e.有限(C)在上有界(D)在上可积7.设是一列可测集，，则有（B）。（A）(B)（第11页，共11页）（C）;（D）以上都不对9、设，则（B）(A)（B）(C)（D）10、设是上有理点全体，则下列各式不成立的是（D）（A）(B)(C)=[0，1](D)11、下列说法不正确的是（C）(A)若，则（B）有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集(C)可测集的任何子集都可测（D）凡开集、闭集皆可测12、设是一列可

3、测集，，且，则有（A）（A）(B)（C）;（D）以上都不对13、设f(x)是上绝对连续函数，则下面不成立的是（B）(A)在上的一致连续函数(B)在上处处可导（C）在上L可积(D)是有界变差函数14．设是两集合，则=（C）(A)(B)(C)(D)16.下列断言(B)是正确的。（A）任意个开集的交是开集；(B)任意个闭集的交是闭集；(C)任意个闭集的并是闭集；(D)以上都不对；17.下列断言中(C)是错误的。（A）零测集是可测集；（B）可数个零测集的并是零测集；（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集；（第

4、11页，共11页）18.若，则下列断言（A）是正确的(A)在可积在可积；(B)(C);(D)19、设是闭区间中的无理点集，则（A）是不可测集是闭集二、填空题1、2、设是上有理点全体，则=,=,=.3、设是中点集，如果对任一点集都有，则称是可测的.4、可测的(充要)条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.5、设，则（0，2）6、设,若则是闭集；若，则是开集；若，则是完备集.7、设是一列可测集，则8、设集合，则9、设为Cantor集，则，0，=。10、果洛夫定理：设是上一列收敛于一个有限的函数的可测函数，则

5、对任意存在子集，使在（第11页，共11页）上一致收敛且。11、在上可测，则在上可积的充要条件是

6、

7、在上可积.12、设为Cantor集，则c，0，=。13、设是一列可测集，则14、鲁津定理：设是上有限的可测函数，则对任意，存在闭子集，使得在上是连续函数，且。15、设为上的有限函数，如果对任意，使对中互不相交的任意有限个开区间只要，就有则称为上的绝对连续函数。16、,因为存在两个集合之间的一一映射为.17、设是中函数的图形上的点所组成的集合，则，.18、设是闭区间中的全体无理数集,则.（第11页，共11页）19、设,,若,则称

8、是的聚点.20设是上几乎处处有限的可测函数列,是上几乎处处有限的可测函数,若,有,则称在上依测度收敛于.三、判断1、设，若E是稠密集，则是无处稠密集。F2、若，则一定是可数集.F3、若是可测函数，则必是可测函数。F4．设在可测集上可积分，若，则F5、A为可数集，B为至多可数集，则AB是可数集.T6、若，则F7、若是可测函数，则必是可测函数F8．设在可测集上可积分，若，则F9、任意多个开集之交集仍为开集F10、若，则一定是可数集.F11、收敛的函数列必依测度收敛。F12、由于，故不存在使之间对应的映射。F13、可数个零测度集之

9、和集仍为零测度集。T14、若可测,且,则.F15、设为点集,,则是的外点.F16、点集为闭集.F（第11页，共11页）17、任意多个闭集的并集是闭集.F四、解答题1、设，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。解：在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集，因为是有界可测函数，在上是可积的因为与相等，进一步，考生答题不得超过此线2、求解：设，则易知当时，又因，()，所以当时，从而使得但是不等式右边的函数，在上是可积的，故有，3、求极限解：记则在[0,1]上连续,因而在[0,1]上（R）可积和（L）可积.又（第

10、11页，共11页）且在上非负可积,故由Lebesgue控制收敛定理得4、设，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。解：在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集因为是有界可测函数，所以在上是可积的因为与相等,进一步，5、求极限.解：设，则易知当时，又，但是不等式右边的函数