上海市中考压轴题解题策略平行四边形的存在性问题.pdf

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1、中考数学压轴题解题策略平行四边形的存在性问题解题策略20XX年9月13日星期日专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标

2、对称，可以使得解题简便．例题解析例如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．图1-1【解析】P、A、C三点是确定的，过△PAC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D（如图1-2）．由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得A(－3,0)，C(0,3)，P(－1,4)．由于A(－3,0)uu右uuu3u，上uuuuu3uuurC(0,3)，所以P(－1,4)uu右uuu3u，上uuuuu3uuurD(2,7)

3、．1由于C(0,3)uu下uuu3u，左uuuuu3uuurA(－3,0)，所以P(－1,4)uu下uuu3u，左uuuuu3uuurD(－4,1)．2由于P(－1,4)uu右uu1u，下uuuuuu1uurC(0,3)，所以A(－3,0)uu右uu1u，下uuuuuu1uurD(－2,－1)．3我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2例❷如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．图2-1【解析】在P、M、A、B四个

4、点中，A、B是确定的，以AB为分类标准．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如图2-2，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P关于AB的中点（1,0）对称，所以点M的横坐标为2．此时M(2，3)．②如图2-3，图2-4，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．所以M(4,－5)或(－4,－21)．我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．图2-2图2-3图2-4例❸如图3-1，

5、在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．图3-1【解析】由y＝－x＋4，得A(4,0)，直线AB与坐标轴的夹角为45°．在O、A、C、D四个点中，O、A是确定的，以线段OA为分类标准．如图3-2，如果OA是菱形的对角线，那么点C在OA的垂直平分线上，点C(2,2)关于OA的对称点D的坐标为(2,－2)．如果OA是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O为圆心，OA为半径的圆与直线AB的交点恰好为点B(0,4)，那么正方形AOCD的顶点D的坐标为(4,4)．如图3-4，

6、以A为圆心，AO为半径的圆与直线AB有两个交点C(422,22)和C′(422,22)，点C和C′向左平移4个单位得到点D(22,22)和D′(22,22)．图3-2图3-3图3-4416例如图4-1，已知抛物线yx2x与x轴的负半轴33交于点C，点E的坐标为(0,－3)，点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M、N，使得以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】C(－4,0)、E(0,－3)两点是确定的，点N的横坐标－2也是确定的．以CE为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：①如图4-2，

7、当CE为平行四边形的边时，由于C、E两点间的水平距离为4，所以M、N两点间的水平距离也为4，因此点M的横坐标为－6或2．将x＝－6和x＝2分别代入抛物线的解析式，得M(－6,16)或(2,16)．16②如图4-3，当CE为平行四边形的对角线时，M为抛物线的顶点，所以M(2,)．3图4-2图4-3例如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点D是第四象限内抛物线上